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[答1286] 正方形内の三角形の面積

ヤドカリ

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[答1286] 正方形内の三角形の面積


 正方形ABCDの 辺BC上に点P,辺AD上に点Q があり、

 台形ABPQ=20 ,△DQP=40 ,∠DPQ=45゚ のとき、△DPC=?


[解答1]

 △PQD=2・台形ABPQ より、QD・AB/2=(AQ+BP)・AB だから、QD=2(AQ+BP) 、

 AQ=a ,BP=b とすれば、QD=2a+2b 、正方形の1辺は AQ+QD=3a+2b ,PC=BC-BP=3a+b です。

 ∠QPB+∠DPC+45゚=180゚ だから、tan∠QPB+tan∠DPC+tan45゚=tan∠QPB・tan∠DPC・tan45゚ 、

 tan∠QPB=(3a+2b)/(b-a) ,tan∠DPC=(3a+2b)/(3a+b) だから、

 (3a+2b)/(b-a)+(3a+2b)/(3a+b)+1=(3a+2b)2/{(b-a)(3a+b)} 、

 (3a+2b)(3a+b)+(3a+2b)(b-a)+(b-a)(3a+b)=(3a+2b)2 、b2=6a2 、b=a√6 になります。

 △DPC:△DQP=PC:QD より、

 △DPC:40=(3a+b):(2a+2b)=(3a+a√6):(2a+2a√6)=(3+√6):(2+2√6) 、

 (2+2√6)△DPC=40(3+√6) 、

 △DPC=20(3+√6)/(1+√6)=20(3+√6)(√6-1)/5=4(3+√6)(√6-1)=4(3+2√6)=12+8√6 です。


[解答2]

 正方形ABCDの1辺を L ,△DPC=S ,QD=40k ,PC=Sk とし、

 △DPC≡△DRA となるように、BAの延長上に点R をとれば、

 △DQPは直角二等辺三角形となり、∠RPD=45゚ ですので、QはRP上にあり、

 AQ=L-40k ,BP=L-Sk ,RA=Sk ,RB=L+Sk です。

 台形ABPQ:△DQP=(AQ+BP):QD=(2L-40k-Sk):40k より、

 (2L-40k-Sk):40k=20:40 、2L-40k-Sk=20k 、2L=60k+Sk です。

 また、AQ:BP=RA:RB より、AQ・RB=BP・RA 、(L-40k)(L+Sk)=(L-Sk)(Sk) 、

 (2L-80k)(2L+2Sk)=(2L-2Sk)(2Sk) 、(60k+Sk-80k)(60k+Sk+2Sk)=(60k+Sk-2Sk)(2Sk) 、 

 (Sk-20k)(60k+3Sk)=(60k-Sk)(2Sk) 、(S-20)(60+3S)=2S(60-S) 、

 3S2-1200=120S-2S2 、5S2-120S=1200 、S2-24S=240 、 

 (S-12)2=384 、S=12+8√6 です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
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ユキヤナギ遠目には雪が積もったようで~

アキチャン  
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おはようございます。
右側はユキヤナギと思われますが、お花が密になっているピンクっぽいのも同じユキヤナギかしら?(*´∀`*)

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
[解答1]もどきでした...a,bの関係がうまく表せるものですね ^^;
わたしゃ...上手くいかず...PC頼りでしたぁ ^^;;...
[解答2]の図はなるほどですが...それでもtanを使う誘惑に駆られてしまいそうだわ...Orz~
色々と巧いこと創作されるって凄いですわねぇ☆☆☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントをありがとうございます。
仰る通り、雪柳の白い花を遠くから見ると、名前の通り、
雪のように見えますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントをありがとうございます。
雪柳の一部に淡いピンクのものがありました。
珍しいので撮ってアップしました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
簡単に解くには tan の加法定理を使えば簡単ですが、
初等幾何で解くには 45゚ と言えば直角二等辺三角形を描けばいいですね。

POPS  
No title

こんばんは。
ユキヤナギが見頃で真っ白に染まって綺麗ですね~。
ウチの方は傷みが目立ってきました。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントをありがとうございます。
この雪柳はウスイピンクです。
珍しいので撮りました。

ほんとはメゾソプラノ  
No title

こんばんは
雪柳がきれいですね!ぎっしり、映えてます!

ヤドカリ  
No title

ほんとはメゾソプラノさん、コメントをありがとうございます。
雪柳は染井吉野と同じ頃に見頃になります。
特に、ぎっしり密集しているのには圧倒されます。

ニリンソウ  
No title

桜が咲くとユキヤナギと菜の花ね
ピンクユキヤナギもあるんです、蕾の時がピンクで
咲くと白ですが。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
咲いてもピンクのユキヤナギです。
狭山池博物館の所に咲いているのですが、他で見たことがありません。