[答1289] 円と三角形の面積
[答1289] 円と三角形の面積
半径 23 の 円Oに 半径 9，8，6，9 の 円A，円B，円C，円D が 点E，点F，点G，点H で内接し、
円Aと円B，円Bと円C，円Cと円D が 点P，点Q，点R で外接しています。
このとき、接点を頂点とする三角形の面積比 △PEF：△QFG：△RGH＝？
[解答]
9＋8＋6＝23 ですので、円A，円B，円C，円D，円O の半径をそれぞれ a，b，c，a，r とすれば、
a＋b＋c＝r になり、b＋c＝r－a＝x ，c＋a＝r－b＝y ，a＋b＝r－c＝z とおけば、
OA＝OD＝BC＝x ，OB＝CD＝y ，OC＝AB＝z ですので、△OAB≡△BCO≡△DOC になります。
△PEF＝△OEF－△OEP－△OPB＝(OE/OA)(OF/OB)△OAB－(OE/OA)△OAP－(OF/OB)△OPB
＝(OE/OA)(OF/OB)△OAB－(OE/OA)(AP/AB)△OAB－(OF/OB)(PB/AB)△OAB
＝(OE/OA)(OF/OB)△OAB－(OE/OA)(AP/AB)△OAB－(OF/OB)(PB/AB)△OAB
＝(r/x)(r/y)△OAB－(r/x)(a/z)△OAB－(r/y)(b/z)△OAB
＝r｛r/(xy)－a/(xz)－b/(yz)｝△OAB＝｛r/(xyz)｝(rz－ay－bx)△OAB
＝｛r/(xyz)｝｛(a＋b＋c)z－ay－bx｝△OAB＝｛r/(xyz)｝｛a(z－y)＋b(z－x)＋cz｝△OAB
＝｛r/(xyz)｝｛a(b－c)＋b(a－c)＋c(a＋b)｝△OAB＝｛2abr/(xyz)｝△OAB
＝(1/c)｛2abcr/(xyz)｝△OAB
同様に、△QFG＝(1/a)｛2abcr/(xyz)｝△OBC ，△RGH＝(1/b)｛2abcr/(xyz)｝△OCD であり、
△OAB≡△BCO≡△DOC より △OAB＝△OBC＝△OCD ですので、
△PEF：△QFG：△RGH＝1/c：1/a：1/b になります。
本問では、a＝9 ，b＝8 ，c＝6 ですので、△PEF：△QFG：△RGH＝1/6：1/9：1/8＝12：8：9 です。
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