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[答1289] 円と三角形の面積

ヤドカリ

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[答1289] 円と三角形の面積


 半径 23 の 円Oに 半径 9,8,6,9 の 円A,円B,円C,円D が 点E,点F,点G,点H で内接し、

 円Aと円B,円Bと円C,円Cと円D が 点P,点Q,点R で外接しています。

 このとき、接点を頂点とする三角形の面積比 △PEF:△QFG:△RGH=?


[解答]

 9+8+6=23 ですので、円A,円B,円C,円D,円O の半径をそれぞれ a,b,c,a,r とすれば、

 a+b+c=r になり、b+c=r-a=x ,c+a=r-b=y ,a+b=r-c=z とおけば、

 OA=OD=BC=x ,OB=CD=y ,OC=AB=z ですので、△OAB≡△BCO≡△DOC になります。

 △PEF=△OEF-△OEP-△OPB=(OE/OA)(OF/OB)△OAB-(OE/OA)△OAP-(OF/OB)△OPB

  =(OE/OA)(OF/OB)△OAB-(OE/OA)(AP/AB)△OAB-(OF/OB)(PB/AB)△OAB

  =(OE/OA)(OF/OB)△OAB-(OE/OA)(AP/AB)△OAB-(OF/OB)(PB/AB)△OAB

  =(r/x)(r/y)△OAB-(r/x)(a/z)△OAB-(r/y)(b/z)△OAB

  =r{r/(xy)-a/(xz)-b/(yz)}△OAB={r/(xyz)}(rz-ay-bx)△OAB

  ={r/(xyz)}{(a+b+c)z-ay-bx}△OAB={r/(xyz)}{a(z-y)+b(z-x)+cz}△OAB

  ={r/(xyz)}{a(b-c)+b(a-c)+c(a+b)}△OAB={2abr/(xyz)}△OAB

  =(1/c){2abcr/(xyz)}△OAB

 同様に、△QFG=(1/a){2abcr/(xyz)}△OBC ,△RGH=(1/b){2abcr/(xyz)}△OCD であり、

 △OAB≡△BCO≡△DOC より △OAB=△OBC=△OCD ですので、

 △PEF:△QFG:△RGH=1/c:1/a:1/b になります。

 本問では、a=9 ,b=8 ,c=6 ですので、△PEF:△QFG:△RGH=1/6:1/9:1/8=12:8:9 です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
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是非とも会ってみたい花

ニリンソウ  
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ムラサキケマンを見ましたか!
花壇にはない花ですが草地で咲いてると
目を引きますね。

ゆうこ つれづれ日記  
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こんにちわ~
野の花はムラサキケマンですか?
このお花、大好きです。
滅多に見られないと思ったら
近くの道路脇に咲いているのを一昨年に見つけたのですが
昨年は見られませんでした。
きっと雑草としてすってられたのかもしれません。
今日はとても寒いです。
コートなしで外歩きはちょっと・・・です。

スモークマン  
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グーテンターク ^^
合同な三角に気づかず...^^;
so...えらい計算量で求める道に迷い込んでしまいましたわ ^^;; Orz~
綺麗な関係になったのは、この数値設定だったからならではですのよね...^^☆

POPS  
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こんばんは。
この花は何でしょう?
背後の緑が濃くなってきて、段々と新緑の季節になりつつありますね。

ヤドカリ  
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ひとりしずかさん、早速のコメントをありがとうございます。
そちらではあまり見られない花でしょうか?
こちらでは時々見る花です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
時々見る花ですが、大阪城公園にけっこうな量が咲いています。
あまりこの花を撮る人はいませんが。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントをありがとうございます。
北海道でも見られるのですね。
扱いは雑草化も知れませんが、私にはそう思えません。
ところで、北海道の気温の変化はかなり大きいようですね。
体調を崩されませんように。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
1/6:1/9:1/8=12:8:9 を使って問題を作ろうとし、
この問題に至りました。
問題はいろいろ作れるものですが、最近はサッパリです。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントをありがとうございます。
ムラサキケマンの花です。空き地などで時々見られます。
背景のヤエムグラは頻繁に見かけます。

ほんとはメゾソプラノ  
No title

ムラサキケマンというのですね~
毎年、庭にわんさか咲いていて雑草だろうけど
抜くのもかわいそうかなと思ってほってます
名前がわからず気になっていました
わかってうれしいです!

ヤドカリ  
No title

ほんとはメゾソプラノさん、コメントをありがとうございます。
そうですか、咲く所には沢山咲きますね。
雑草の扱いを受けることも多いと思いますが、綺麗だと思います。