[答1289] 円と三角形の面積
[答1289] 円と三角形の面積
半径 23 の 円Oに 半径 9,8,6,9 の 円A,円B,円C,円D が 点E,点F,点G,点H で内接し、
円Aと円B,円Bと円C,円Cと円D が 点P,点Q,点R で外接しています。
このとき、接点を頂点とする三角形の面積比 △PEF:△QFG:△RGH=?
[解答]
9+8+6=23 ですので、円A,円B,円C,円D,円O の半径をそれぞれ a,b,c,a,r とすれば、
a+b+c=r になり、b+c=r-a=x ,c+a=r-b=y ,a+b=r-c=z とおけば、
OA=OD=BC=x ,OB=CD=y ,OC=AB=z ですので、△OAB≡△BCO≡△DOC になります。
△PEF=△OEF-△OEP-△OPB=(OE/OA)(OF/OB)△OAB-(OE/OA)△OAP-(OF/OB)△OPB
=(OE/OA)(OF/OB)△OAB-(OE/OA)(AP/AB)△OAB-(OF/OB)(PB/AB)△OAB
=(OE/OA)(OF/OB)△OAB-(OE/OA)(AP/AB)△OAB-(OF/OB)(PB/AB)△OAB
=(r/x)(r/y)△OAB-(r/x)(a/z)△OAB-(r/y)(b/z)△OAB
=r{r/(xy)-a/(xz)-b/(yz)}△OAB={r/(xyz)}(rz-ay-bx)△OAB
={r/(xyz)}{(a+b+c)z-ay-bx}△OAB={r/(xyz)}{a(z-y)+b(z-x)+cz}△OAB
={r/(xyz)}{a(b-c)+b(a-c)+c(a+b)}△OAB={2abr/(xyz)}△OAB
=(1/c){2abcr/(xyz)}△OAB
同様に、△QFG=(1/a){2abcr/(xyz)}△OBC ,△RGH=(1/b){2abcr/(xyz)}△OCD であり、
△OAB≡△BCO≡△DOC より △OAB=△OBC=△OCD ですので、
△PEF:△QFG:△RGH=1/c:1/a:1/b になります。
本問では、a=9 ,b=8 ,c=6 ですので、△PEF:△QFG:△RGH=1/6:1/9:1/8=12:8:9 です。
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