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[答1290] 接弦定理の利用

ヤドカリ

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[答1290] 接弦定理の利用


 四角形ABCDがあり、AB=AC=BC=BD ,BC2-CD2=BC・CD のとき、∠ACD=?

 更に、直線ABと頂点Aで接し頂点Dを通る円と 辺ACとの交点をEとするとき、∠CDE=?


[解答1]

 AB=AC=BC=BD=a ,CD=2x とすれば、

 BC2-CD2=BC・CD より、a2-4x2=2ax 、4(x/a)2+2(x/a)-1=0 、x/a=(-1+√5)/4=cos72゚ 、

 ∠BCD=72゚ であり、△ABCは正三角形ですので、∠ACD=72゚-60゚=12゚ です。

 △BCD,△BDA は 頂角が ∠CBD,∠DBA の二等辺三角形で、

 ∠CBD+∠DBA=60゚ だから、∠CBD/2+∠DBA/2=30゚ になり、

 ∠CBD/2=90゚-72゚=18゚ 、∠DBA/2=12゚ 、∠BAD=90゚-12゚=78゚ ですので、

 ∠ADC=360゚-∠BAD-∠BCD-∠ABC=360゚-78゚-72゚-60゚=150゚ です。

 接弦定理より、∠ADE=∠BAE=60゚ だから、∠CDE=∠ADC-∠ADE=150゚-60゚=90゚ です。


[解答2]

 DCの延長上に BC=CP を満たす点Pをとり、△BCPの外接円を描くと、BC2-CD2=BC・CD より、

 DB2=BC2=CD2+CD・CP=DC(DC+CP)=DC・DP だから、DBはこの円の接線になり、

 接弦定理より ∠CPB=∠CBD 、

 また、CB=CP より ∠CBP=∠CPB=∠CBD 、∠BCD=∠CBP+∠CPB=2∠CBD 、

 BC=BD より ∠BDC=∠BCD=2∠CBD 、

 △BCDの内角の和は ∠CBD+∠BDC+∠BCD=180゚ 、5∠CBD=180゚ 、∠CBD=36゚ です。

 中心がBで A,D,C を通る円を描けば、

 ∠ACD=∠ABD/2=(∠ABC-∠CBD)/2=(60゚-36゚)/2=12゚ です。

 中心がBで A,D,C を通る円周上の、直線ACに関してDと反対側に 点Qをとれば、

 ∠CDA=180゚-∠AQC=180゚-∠ABC/2=180゚-60゚/2=150゚ 、

 接弦定理より ∠ADE=∠BAE=60゚ 、∠CDE=∠CDA-∠ADE=150゚-60゚=90゚ です。


[解答3] tsuyoshik1942さんのコメントより ∠ACDのみ

 BC上に点Gを ∠DGC=∠DCBとなるようにとると、△DGC∽△BCD となり ∠CDG=∠CBD 、

 夾角の等しい三角形の面積比は二辺の乗算比なので、

 △BCD:△DGC:△BGD=BC2:CD2:BD・BG であり

 △BCD-△DGC=△BGD より、BC2-CD2=BD・BG=BC・BG 、

 一方、条件より、BC2-CD2=BC・CD 、BC・BG=BC・CD 、BG=CD=DG です。

 △GBDは二等辺三角形 、∠BCD=∠BDC=2∠CBD 、5∠CBD=180゚ 、∠CBD=36゚ 、

 ∠ACD=∠BCD-∠BCA=2∠CBD-60゚=2・36゚-60゚=12゚ です。


[解答4] スモークマンさんのコメントを参考に ∠ACDのみ

 △BCD≡△CBF となるように 等脚台形BCDFを描くと 円に内接するので トレミーの定理により、

 BD・CF=FB・CD+FD・BC 、BC2=CD2+FD・BC であり、条件より、BC2-CD2=BC・CD だから、

 CD2+FD・BC-CD2=BC・CD になり、FD=CD 、BF=FD=DC になります。

 従って、∠BCF=∠FCD=∠DBC 、∠BCD=2∠DBC 、

 BC=BD より ∠BDC=∠BCD=2∠DBC になり、△BCDの内角の和は 5∠DBC=180゚ 、∠DBC=36゚ 、

 ∠ACD=∠BCD-∠BCA=2∠CBD-60゚=2・36゚-60゚=12゚ です。

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Comments 9

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ひとりしずか  
No title

レンゲソウ実物に会いたい花

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
BC^2-CD^2=BC・CD
をBC^2=BC*CD+CD^2 と変形すれば、底辺がBCで残りの3辺がCD,対角線がBCという等脚台形でのトレミーの定理そのものだから...
∠DBC=xとしたら...∠BCD=2x...so...5x=180...2x=72°
so...∠ACD=72-60=12°
∠ABD=60-36=24°
so...∠BAD=(180-24)/2=78°
so...∠CAD=∠EDB=78-60=18°・・・接弦定理より
so...∠CDE=72+18=90°
と求めましたです ^^...Orz~

ニリンソウ  
No title

蓮華ですか~~!
不思議でしょうが蓮華の花が見れない新潟です
何処かにあるのかな?

POPS  
No title

こんばんは。
レンゲの花でしょうか。
綺麗に咲き揃い、青空げ向かって咲いている雰囲気がまたいいですね~。
大宮第二公園でも咲いてましたが、ここまで綺麗に咲いてませんでした。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントをありがとうございます。
そちらにはレンゲソウは少ないのでしょうか?
子供の頃は田んぼが多かったのですが、
今は宅地化されてレンゲソウを見る機会は少なくなりました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
底辺がBCで残りの3辺がCD,対角線がBCという等脚台形でのトレミーの定理そのものだから
が、他人が理解しやすい説明になっていないので、解答を加えました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
こちらでは田舎の方に行くと、この時期に水田に見られます。
米どころの新潟はレンゲソウに頼らず、
近代的な米作りをされているのでしょう。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントをありがとうございます。
レンゲソウをローアングルで撮ればこんな写真になります。
その状態で撮れるところを見つけるのは難しいです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、鍵コメントをありがとうございます。
ご指摘の件、訂正しました。