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[答1291] 2辺1対角線が等しい四角形

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1291] 2辺1対角線が等しい四角形


 AB=AC=AD の 四角形ABCDがあって、対角線の交点を O とします。

 O は AC の中点で、BDを 15:19 に内分し、OB=6√5 であるとき、BC=? また、△ABC=?


[解答1]

 AB=AC=AD=a とすれば、OA=OC=a/2 で、∠ABO=∠ADO=θ とすれば、

 △ABO,△ADO において 余弦定理より、

 (a/2)2=a2+OB2-2・a・OB・cosθ ,(a/2)2=a2+OD2-2・a・OD・cosθ だから、

 x2-(2a・cosθ)x+3a2/4=0 の解が x=OB,OD になり、

 解と係数の関係により、OB+OD=2a・cosθ ,OB・OD=3a2/4 、

 OB=15k ,OD=19k とおけば、34k=2a・cosθ ,15・19k2=3a2/4 になり、a2=380k2 ですので、

 AB2=a2=380k2 ,OA2=a2/4=95k2 です。

 また、OB=15k=6√5 だから k=2/√5 、k2=4/5 です。

 △ABCにおいて、中線定理より、AB2+BC2=2(OB2+OA2) 、

 BC2=2(OB2+OA2)-AB2=2(225k2+95k2)-380k2=260k2=260・4/5=208 、BC=4√13 です。

 次に、34k=2a・cosθ より cosθ=17k/a 、cos2θ=289k2/a2=289k2/(380k2)=289/380 、

 sin2θ=1-cos2θ=91/380 、sinθ=√(91/380) になり、

 △ABC=2△ABO=AB・BO・sinθ=(√380)k・15k・√(91/380)=15k2√91=15(4/5)√91=12√91 です。


[解答2]

 Aを中心とする B,C,D を通る円と CAの延長との交点を E とし、

 AB=AC=AD=a とすれば、OA=OC=a/2 ,OE=3a/2 で、更に、OB=15k ,OD=19k とおきます。

 方べきの定理より、OC・OE=OB・OD なので、3a2/4=15・19k2 、a2=380k2 ですので、

 AB2=a2=380k2 ,OA2=a2/4=95k2 です。

 また、OB=15k=6√5 だから k=2/√5 、k2=4/5 です。

 △ABCにおいて、中線定理より、AB2+BC2=2(OB2+OA2) 、

 BC2=2(OB2+OA2)-AB2=2(225k2+95k2)-380k2=260k2=260・4/5=208 、BC=4√13 です。

 BDの中点を M とすれば、三平方の定理より、

 AM2=AB2-BM2=AB2-(BC/2)2=380k2-260k2/4=325k2=315・4/5=252 、AM=6√7 になり、

 △ABC=BC・AM/2=(4√13)(6√7)/2=12√91 です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
No title

ニリンソウ
我が家の八重咲きニリンソウ一個だけ花を咲かせています。
なんとか増やそうと……

アキチャン  
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おはようございます。
似たお花がいぱいですね。白いお花はいいですね(*´∀`*)

ニリンソウ  
No title

ニリンソウですね
GW始まります、今日も雨、明日も雨なんです
予約してるので佐渡へ行って来ます。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

ニリンソウですね~
花びらが5枚ですがたまに6枚のニリンソウもあります。
道東は5月の桜の咲くころに咲きます。
今夜は雪の予報だわ~
今年はなんだか気候が変です。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
抽選定理と三平方の定理で求めました ^^v
方べき...なるほどです☆
Oが中点(1:1)でないときでも求められますね ^^ Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントをありがとうございます。
私にとって、ニリンソウ自体、そんなに出会う花ではありませんので、
八重咲の存在は知りませんでした。
初夏に近づき、白い花が増えてきました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントをありがとうございます。
初夏に近づき、白い花が増えてきました。
緑が濃くなり、白い花が目立つ季節ですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
毎年、佐渡へ渡られるのですね。
GWを前に急に気温が下がってきました。
お気をつけて行ってらっしゃい。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントをありがとうございます。
私にとって、ニリンソウ自体、そんなに出会う花ではありませんので、
6枚のがあるとは知りませんでした。今度、機会があれば探してみます。
ところで、北日本は雪の予報まで出ているのですね。寒そうです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
AB=AC=AD の条件を見れば、Aを中心に円を描こうという気になります。
さて、それからどうするか、条件から中線定理を使いたくなりますし、
中点でなくても何とかできるでしょう。

POPS  
No title

こんばんは。
二輪草、綺麗に咲いてますね~。
この間、グリーンセンターでも咲いてましたが、遠すぎて撮れませんでした。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントをありがとうございます。
ニリンソウの花は小さいので遠くからの撮影は困難ですね。
白い花が可憐です。