FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1292] 円錐の体積

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答1292] 円錐の体積


 xy平面上の円 x2+y2=3 の第1象限の点での接線とx軸とy軸で囲まれる直角三角形を、

 x軸の周りに回転してできる円錐の体積を V とするとき、V を最小にする接点の座標は?

 また、V の最小値は?


[解答1]

 接線の座標軸との交点を(s,0),(0,t)とすれば、s>√3 ,t>√3 で、

 接線とx軸とy軸で囲まれる直角三角形の面積は、

 (1/2)(√3)√(s2+t2)=(1/2)st だから、3(s2+t2)=s2t2 、t2(s2-3)=3s2 、t2=3s2/(s2-3) です。

 V=(1/3)πt2s より、V/π=s3/(s2-3) になります。

 (dV/ds)/π={3s2(s2-3)-s3・2s}/(s2-3)2=s2(s2-9)/(s2-3)2 だから、s=3 のとき V は最大になります。

 s=3 のとき 、t2=3s2/(s2-3)=9/2 、t=3/√2 、V=(1/3)πt2s=(1/3)π(9/2)・3=(9/2)π です。

 また、接線の方程式は、x/s+y/t=1 、x/3+y/(3/√2)=1 、x+(√2)y=3 だから、接点は(1,√2)です。


[解答2]

 接点を(a,b)とすれば、a>0,b>0,a2+b2=3 で、接線は ax+by=3 なので、

 接線と座標軸の交点は(3/a,0),(0,3/b)になり、円錐の底面の半径は 3/b,高さは 3/a 、

 従って、V=π(3/b)2(3/a)/3=9π/(ab2) です。

 ここで、相加・相乗平均の関係により、(a2+b2/2+b2/2)/3≧3√{a2(b2/2)(b2/2)} 、

 1≧3√(a2b4/4) 、1≧a2b4/4 、1≧ab2/2 、1/(ab2)≧1/2 、9π/(ab2)≧9π/2 です。

 等号は a2=b2/2 のときに成り立ち、

 このとき、b2=2a2 ,a2+b2=3 より (a,b)=(1,√2) です。

 従って、接点の座標は(1,√2) ,V の最小値は 9π/2 です。

.

スポンサーサイト



Comments 12

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

おはようございます。
子供の頃から色の名前で覚えています。ヤマブキだけは忘れません(笑)(*´∀`*)

ニリンソウ  
No title

一重の山吹が素敵です。
爽やかな朝ですいいお休みを過ごしていますか。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
相加相乗が確かに楽で早かったですわね ^^;v
天気イマイチですが、今日は部屋の大掃除(断捨離)に取り組む予定ですから、雨でもなんら構わないのよね...^^...Orz~

ほんとはメゾソプラノ  
No title

こんばんは~
私の好きなヤマブキですよね
この花が咲くと、もう寒い日が無くなる気がします
しかし、今年は寒い日が来て調子が狂います・・・

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントをありがとうございます。
昭和のときは、時代劇もよく放映されていました。
悪徳商人が悪代官に渡すものは決まって山吹色でした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
八重の山吹の方がよく見かけますが、私は一重の方が好きです。
ところで、今朝は曇っていて今は雨です。
当方では爽やかという言葉に合わない1日でした。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
使えるときは、相加・相乗平均が便利ですね。
何となく使えそうな問題ですが、式にするのに一工夫です。

ヤドカリ  
No title

ほんとはメゾソプラノさん、コメントをありがとうございます。
ヤマブキお花がお好きなようですね。
私もこの花が咲くともう寒くはないと思っていますが、
今年は気温の変化が大きいですね。

POPS  
No title

こんばんは。
ヤマブキ、鮮やかで綺麗ですね~。
ウチの方は盛りは過ぎましたが、一重、八重咲き、両方見れました。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントをありがとうございます。
八重の山吹は私もよく見るのですが、やはりシンプルな一重がいいです。
ヤマブキの黄色は美しいですね。

樹☆  
No title

こんばんは
一重の山吹・・こちらでもよく見かけます。
元気をもらいますね。

平成もいよいよ終わろうとしてます。
令和もよろしくお願いします。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントをありがとうございます。
こちらでは、八重の方がよく見られます。
ところで、
平成も今日で終わりですね。
ブログも引っ越ししなければなりませんが、
令和もこちらこそよろしくお願いします。