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[答1294] 当たり籤と期待値

ヤドカリ

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[答1294] 当たり籤と期待値


 3本の当たり籤を含む 42本の籤から 引いた籤は戻さないで 無作為に1本ずつ引き続けます。

 (1) 最初の当たり籤を引いたとき籤引きを終えるものとすれば 引く籤の本数の期待値は?

 (2) 当たり籤を全部引いたとき籤引きを終えるものとすれば 引く籤の本数の期待値は?


[解答1]

 最初の当たり籤を引いたときの籤の本数Aとすれば、Aと確率の関係は、

 A=1 …… 3/42=3・41・40/(42・41・40)
 A=2 …… (39/42)(3/41)=3・40・39/(42・41・40)
 A=3 …… (39/42)(38/41)(3/40)=3・39・38/(42・41・40)
 A=4 …… (39/42)(38/41)(37/40)(3/39)=3・38・37/(42・41・40)
 A=5 …… (39/42)(38/41)(37/40)(36/39)(3/38)=3・37・36/(42・41・40)
 A=6 …… (39/42)(38/41)(37/40)(36/39)(35/38)(3/37)=3・36・35/(42・41・40)
   ……………………

 と続き、k=1,2,3,……,40 において、A=k の確率は 3(42-k)(41-k)/(42・41・40) です。

 Σを k=1,2,3,……,40 のときの和を表すものとすれば、

 Aの期待値は Σ3k(42-k)(41-k)/(42・41・40)=6{Σk(42-k)(41-k)/2}/(42・41・40) 、

 ここで、k・(42-k)(41-k)/2 は、43以下の自然数から

 k以下の1個 と (k+1) と (k+2)以上のうちの2個を選ぶ場合の数であり、

 k=1,2,3,……,40 として加えれば Σk(42-k)(41-k)/2=434 になります。

 よって、Aの期待値は 6・434/(42・41・40)=6・43・42・41・40/(4!・42・41・40)=43/4 です。

 次に、当たり籤を全部引いたときの籤の本数Bとします。

 42本の籤をすべて引くものとし、引いた順に全部並べる場合の数は、42! 通りありますが、

 その並び方と逆順の並べ方を対応させれば、A=k と B=43-k が 1対1 に対応しますので、

 Bの期待値は 43-43/4=129/4 になります。


[解答2]

 42本の籤をすべて引くものとし、引いた順に全部並べるものとして、

 最初の当たり籤が何番目にあり、最後の当たり籤が何番目にあるかを求めます。

 最初の当たり籤をA,次の当たり籤をB,最後の当たり籤をCとして、

 どの外れ籤についても、

 Aの前の確率 ,ABの間の確率 ,BCの間の確率 ,Cの後の確率 が何れも 1/4 だから、

 39本の外れ籤の本数の期待値(平均値)は、

 Aの前の本数 ,ABの間の本数 ,BCの間の本数 ,Cの後の本数 が何れも 39/4 です。

 従って、Aは 39/4+1=43/4 番目 、Cは 3・43/4=129/4 番目です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
No title

沖縄ではイッペーと呼ぶコガネノウゼン/キバナノウゼンでしょうか~
パァーっといっぺんに明る気分に!

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
どちらもわかりやすく面白いですね♪
[解答1]の1本目と最後のクジが現れる期待値は同じという逆から見る発想は...コロンブスの卵!!...目から鱗がポロりんちょ♪
確率は、視点を変えたらAha!!ってなことになるんだけど...
それには柔軟な発想が必要なのよねぇ^^;☆ Orz~

ゆうこ つれづれ日記  
No title

黄色のお花が日差しを受けて
お花も見ている方も心地の良さを感じます。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
この類のお花は綺麗でかわいいから好きです♪(*´∀`*)

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントをありがとうございます。
仰る通り、コガネノウゼンです。
日本では沖縄や宮崎でよく植えられているそうです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントをありがとうございます。
いずれも「最後まで並べた場合の何番目」というのが基本です。
期待値は発想で計算量がかなり違いますね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントをありがとうございます。
コガネノウゼンはブラジル原産で、暖かい地方で植えられています。
見るからに暖かそうな気持ちになりますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントをありがとうございます。
名古屋の方でも見られるのでしょうか。
葉より先に鼻が咲くので、派手に見えますね。

樹☆  
No title

こんばんは
連休は楽しまれましたか?

コガネノウゼンというのですね^^
青い空に黄色のお花が華やかですね。。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントをありがとうございます。
コガネノウゼンまたはイペーと言います。
少し前から気になっていたのですが、GWに最高の見頃を迎えました。

ニリンソウ  
No title

これね見たことがありません。
遠くからでも目立つでしょうね大きな木かな?

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
かなり大きな樹です。遠くからでも目立ちます。
沖縄や宮崎に多く植えられているそうで、大阪でも少し見ることがあります。