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[答1296] 等式を満たす自然数の組

ヤドカリ

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[答1296] 等式を満たす自然数の組


  m4=24n(n2+9) を満たす自然数の組(m,n)=?


[解答]

 m4=24n(n2+9)=12n(2n2+18)={(n+3)2-(n-3)2}{(n+3)2+(n-3)2}=(n+3)4-(n-3)4

 (n-3)4+m4=(n+3)4 です。

 Fermat の最終定理によれば、x4+y4=z4 を満たす自然数の組(x,y,z)が存在しないので、

 x=0 または y=0 になります。

 よって、|n-3|=0 ,m=n+3 になり、(m,n)=(6,3) です。


[参考]

 x4+y4=z4 を満たす自然数の組(x,y,z)が存在しないことを示します。

 文字をすべて自然数とし、gcd(□,□,……) で最大公約数を表すことにします。

 まず、X2+Y2=Z2 ,gcd(X,Y,Z)=1 のとき、

 奇数の平方数≡1 ,偶数の平方数≡0 (mod 4) であり、gcd(X,Y)=1 なので、

 X,Y は 奇数と偶数で、Z は奇数です。

 X を奇数,Y を偶数とすれば、Y2=(Z+X)(Z-X) 、Z+X,Z-X は偶数ですので、

 (Z+X)/2=P,(Z-X)/2=Q とおけば、gcd(Z+X,Z-X)=2 、gcd(P,Q)=1 で、Y2=4PQ 、

 P,Q は平方数になり、P=p2 ,Q=q2 とおけば、Y=2pq ,X=P-Q=p2-q2 ,Z=P+Q=p2+q2 です。

 結局、X2+Y2=Z2 ,gcd(X,Y,Z)=1 で X が奇数であれば、

 互いに素な p,q で、X=p2-q2 ,Y=2pq ,Z=p2+q2 と表されます。

 次に、x4+y4=Z2 を満たす自然数の組(x,y,Z)が存在すると仮定し、x は奇数とします。

 そのうち Zが最小なものについて、

 gcd(x2,y2,Z)=g とすれば、x4,y4,Z2 は g2 の倍数なので、Zの最小性から g=1 、

 gcd(x2,y2,Z)=1 だから、互いに素な p,q で、x2=p2-q2 ,y2=2pq ,Z=p2+q2 と表されます。

 x2+q2=p2 ,gcd(x,q,p)=1 だから、互いに素な r,s で、q=2rs ,p=r2+s2 と表されます。

 ここで、gcd(p,r)=gcd(r2+s2,r)=gcd(s2,r)=1 で、同様に、gcd(p,s)=1 です。

 また、y2=2pq=4prs だから、p,r,s はすべて平方数であり、p=t2 ,r=u2 ,s=v2 とすれば、

 p=r2+s2 より、t2=u4+v4 、t>1 ですので、t<p<p2<Z で、これはZの最小性に反します。

 よって、x4+y4=Z2 を満たす自然数の組(x,y,Z)は存在せず、

 x4+y4=z4 を満たす自然数の組(x,y,z)は存在しません。

.

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Comments 12

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ニリンソウ  
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モミジのプロペラですね
下がってた花がいつの間にか種になった・

ひとりしずか  
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プロペラのような実、かわいいです

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
フェルマーの定理頭かすめたんですが...式変形思いつけませんでしたわ ^^;
n=3 しかないことから...(n-3)^4に思いをはせるべきだったか...^^;;
面白い発想の作問ねぇ☆
ブラボーなご賢息あるね♪

ピタゴラス数から...m^2-n^2,2mn,m^2+n^2
((a-3)^2)^2+(b^2)^2=((a+3)^2)^2
右辺は奇数になるので、左辺の(a-3)^2も奇数
つまり...
(a-3)^2=m^2-n^2
(a+3)^2=m^2+n^2
so...
2m^2=2(a^2+9)
m^2=a^2+3^2...a=4,m=5
となるが...(4+3)^2=5^2+24で...24=n^2 なるものはない.
は、一般の ^4でなければ...それに含まれているから、触れる必要はないわけですのね ^^;v Orz~

樹☆  
No title

こんにちは

フクシアの仲間でしょうか?
下向きのプロペラのようで面白いです。。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
京都御所のモミジの新緑の中で、赤が目立ちました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントをありがとうございます。
京都御所に行ったときに見たモミジです。
新緑の中、赤いプロペラが目立ちました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
1296が珍しい4乗数だから、それを活かして問題を作るように頼んだら、
長男からこんな問題が返ってきました。
4乗でのフェルマーの最終定理の証明を加えて解答としました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントをありがとうございます。
残念ながら、モミジです。
京都御所の中で目立っていました。

アキチャン  
No title

こんにちわ。
もう見れるのですね。プロペラのようで可愛いですよね(*´∀`*)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントをありがとうございます。
京都御所の中で見ました。
秋も素晴らしいのだろうと思って、後にしました。

ほんとはメゾソプラノ  
No title

おはようございます
プロペラのような種は新しい葉っぱが出る前に散っていくのだと思ってました
京都御所に行ってみたくなりました~♪

ヤドカリ  
No title

ほんとはメゾソプラノさん、コメントをありがとうございます。
モミジのプロペラは今よく見られます。
京都御所以外でも普通に見られますが、御所はいいところです。