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[答1297] 平方根の小数部分

ヤドカリ

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[答1297] 平方根の小数部分


 Nを 10000未満の自然数として、√N の小数部分 √N-[√N] が 1/72 にいちばん近いNの値は?

 また、√N の小数部分 √N-[√N] が 1/72 に2番目に近いNの値は?

 なお、「近い」は、差の絶対値が小さいという意味です。


[解答]

 [√N]=n ,N=n2+k とおくと、0≦k≦2n で、N<10000 より n<100 です。

 y=√x のグラフにおいて、

 (n2,n) と ((n+1)2,n+1) を通る直線は y-n=(x-n2)/(2n+1) 、y=(x+n2+n)/(2n+1) で、

 x=n2+k のとき y=n+k/(2n+1) です。

 y'=1/(2√x) ですので、(n2,n) における接線は y-n=(x-n2)/(2n) 、y=(x+n2)/(2n) で、

 x=n2+k のとき y=n+k/(2n) です。

 よって、k>0 であれば、n+k/(2n+1)<√(n2+k)<n+k/(2n) 、k/(2n+1)<√(n2+k)-n<k/(2n) 、

 1/(2n/k+1/k)<√(n2+k)-n<1/(2n/k) です。

 2n/k+1/k ,2n/k が 72 に近い(n,k)を n<100 の範囲で書けば、

  (n,k)=(36,1) のとき 1/73<√1297-36<1/72 、

  (n,k)=(35,1) のとき 1/71<√1226-35<1/70 、

  (n,k)=(72,2) のとき 1/72.5<√5186-72<1/72 、

  (n,k)=(71,2) のとき 1/71.5<√5043-71<1/71 であり、

  √1297-36=1/(√1297+36) ,72+1/73<√1297+36<72+1/72 、

  √1226-35=1/(√1226+35) ,70+1/71<√1226+35<70+1/70 、

  √5186-72=2/(√5186+72) ,72+1/145<(√5186+72)/2<72+1/144 、

  √5043-71=2/(√5043+71) ,71+1/143<(√5043+71)/2<71+1/142 であるので、

 小数部分が 1/72 にいちばん近いのは √5186 ,2番目に近いのは √1297 で、

 いちばん近いのは N=5186 ,2番目に近いのは N=1297 のときです。

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Comments 8

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ひとりしずか  
No title

クサフジですネ
牧草として利用されるとか……
花がたくさん付くんですね~

ゆうこ つれづれ日記  
No title

川辺に咲くクサフジですか?
もう夏の光景ですねー

道東は最近霧の日が多いわ~

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
アバウトですが...^^;
(m+1/72)^2=m^2+2m/72+1/72^2
N=(m+1/72)^2 のときが差は0
so...m^2+2m/72が正の整数(m+1/72<=100)になるとき...を考えました...

直感的には良さそうな気がしました...?...Orz~

ニリンソウ  
No title

こんばんは~
車で走っててもこの色が眼を引きます。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントをありがとうございます。
花が沢山つくので遠くからでも分かります。
初夏を感じる花です。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントをありがとうございます。
私には初夏の光景と感じるのですが、北海道では夏の花なのですね。
道東では霧が多くて「リラ冷え」でしょうか?

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
問題を解くだけなら貴殿の解き方でいいですね。
問題を作り、解答を示す立場としては、曖昧は許せません。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
こちらでは車からはあまり見えませんが、
電車が鉄橋を通る時にこの色をよく見ます。