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[答1298] 球面の格子点

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1298] 球面の格子点


 x,y,z のすべてが整数である点(x,y,z)を格子点といいます。

 球面 x2+y2+z2=172 の格子点のうち、3x+2y+z を最大にする格子点(x,y,z)=?


[解答]

 x2+y2+z2=172 で、3x+2y+z を最大にするので、x≧y≧z≧0 としてよいことになります。

 コーシー・シュワルツの不等式により、(3x+2y+z)2≦(32+22+12)(x2+y2+z2) 、

 (3x+2y+z)2≦(32+22+12)(x2+y2+z2)=14・172=4046 、|3x+2y+z|≦63 です。

 3x+2y+z=k とすれば、|k|≦63 で、z=k-3x-2y 、x2+y2+(k-3x-2y)2=172

 10x2+12xy+5y2-6kx-4ky+k2=289 、50x2+60xy+25y2-30kx-20ky+5k2=1445 、

 25y2+10(6x-2k)y+(6x-2k)2+14x2-6kx+k2=1445 、(5y+6x-2k)2=1445-k2+6kx-14x2

 よって、1445-k2+6kx-14x2 は平方数で、

 1445-k2+6kx-14x2≧0 より {3k-√(20230-5k2)}/14≦x≦{3k+√(20230-5k2)}/14 です。

 k=63 のとき、(189-√385)/14≦x≦(189+√385)/14 、13≦x≦14 、

  1445-k2+6kx-14x2=-2524+378x-14x2 は x=13,14 のとき 24 で平方数ではありません。

 k=62 のとき、(186-√1010)/14≦x≦(186+√1010)/14 、12≦x≦15 、

  1445-k2+6kx-14x2=-2399+372x-14x2 は x=12,13,14,15 のとき 順に、

  49,71,65,31 であり、平方数になるのは、x=12 のときの 49 だけです。

  (5y+6x-2k)2=1445-k2+6kx-14x2 より、(5y+72-124)2=49 、5y=52±7=59,45 、y=9 、

  3x+2y+z=k より 3・12+2・9+z=62 、z=8 、(x,y,z)=(12,9,8) です。

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Comments 12

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ヤドカリ  
No title


写真の花は、オーストラリア原産の
キング・プロテア(リトルプリンス)です。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
原点から平面3x+2y+z=k>0までの距離^2=k^2/(3^2+2^2+1^2)<=17^2
k<=63
で考えましたが...巧みな式変形は気づけず...もっぱらPC頼りでした...^^;
Orz~

ひとりしずか  
No title

オーストラリア原産ですか~
独特な形していますネ
綺麗な色の赤

ほんとはメゾソプラノ  
No title

こんばんは~
真ん中には秘密な、なにかが入っていそうですね
もしかしてどんどん開いていくのでしょうか?
不思議な花に見えてきました

樹☆  
No title

こんばんは
初めて見たお花です^_^

赤いお花が凛としてて
リトルプリンスというより
王様ですね。
あっ!キングとも書いてある。笑

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
|3x+2y+z|≦63 を求めれば、
3x+2y+z=63,3x+2y+z=62,…… と順に検証すると解けますね。

ヤドカリ  
No title

2019/5/20(月) 午後 1:51の鍵コメ様
私もまだ様子見状態です。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントをありがとうございます。
大陸の移動でほかの大陸と離れたオーストラリアの原産だから、
変わった花かも知れません。

ヤドカリ  
No title

ほんとはメゾソプラノさん、コメントをありがとうございます。
中に何が入っているのか、私も初めて見た花なので分かりません。
どのように変化するのか興味はあります。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントをありがとうございます。
私も初めて見た花です。
キングかプリンスかは分かりませんが、
堂々とした立派な花だったことは確かです。

アキチャン  
No title

インパクトがあるお花ですね!1
('∇^d) ナイス☆!!

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントをありがとうございます。
初めて見ましたが、確かにインパクトがあります。
世界には面白い花がありますね。