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[答123] 5桁の123の倍数

ヤドカリ

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[答123] 5桁の123の倍数

 18204÷123=148 だから、18204 は 123 の倍数です。

 18204 を途中で区切って前後を入れかえた数、82041, 20418, 04182, 41820 は、

 82041÷123=667, 20418÷123=166, 04182÷123=34, 41820÷123=340 と、

 すべて 123 の倍数になります。

 123 の倍数である5桁の数はすべてこの性質をもちますが、

 「nの倍数であるすべての5桁の数は、途中のどこで区切って前後を入れかえてもnの倍数」

 という性質をもつ自然数nは、n=123 を含めて何個?

 ただし、上の例のように、5桁の数に0が含まれても上位の0を消さずに5桁の数と見做すことにします。

 また、「1の倍数」という言葉には違和感があるかも知れませんが、n=1 も含めて下さい。



[解答1] uch*n*anさんの解答です。

 まず,abcde・10-bcdea=(100000-1)・a=99999・a は n の倍数 などより,

 n の候補は,99999・g=32・41・271・g,(g は a,b,c,d,e の最大公約数) になります。

 そこで,n が 99999 の約数の場合は,abcde が n の倍数,ならば,

 bcdea=abcde・10-99999・a,cdeab=bcdea・10-99999・b,...,などより,

 入れ替えたものはすべて n の倍数になります。そこで,99999 の約数は解で,

 1,3,9,41,123,369,271,813,2439,11111,33333,99999 の 3・2・2=12 個。

 これは,g=1 の場合を含んでいます。

 次に,g が 1 でなく,n が 99999 の約数でない場合です。g は 2 ~ 9 のすべてが可能です。

 n の新たな候補は,先のものに g をかけたもので,100000 未満で 99999 の約数でないもの,

 ですが,n が ggggg の形以外は,1xxxx 形の倍数をもつか,n=2439・9=21951 なので,

 1xxxx の場合は,xxxx1=1xxxx・10-99999・1 より,n は 99999 の約数でなければならず,

 n=21951 の場合は,12195 が倍数にならないので,新たな n は存在しません。

 n が ggggg の形は,ggggg 自体が n の倍数になることも考慮して,

 新たな n は,22222,44444,55555,66666,77777,88888 の 6 個。

 以上ですべてなので,12+6=18 個,になります。


[解答2]

 5桁の数の上1桁と下4桁に区切ったときに必ずnの倍数になる場合を考えます。

 この条件に合えば、繰り返すことで、どこで区切ってもnの倍数になります。

 5桁の数の上1桁をa,下4桁をbで表して、

 「10000a+b がnの倍数ならば、10b+a もnの倍数」

 が必ず成り立つnを求めることになります。

 10000a+b=kn とおくと、b=kn-10000a だから、

 10b+a=10(kn-10000a)+a=10kn-99999a 、よって、nが 99999a の約数であることと同値です。

 n<20000 のときは、10000以上20000未満にnの倍数がありますので、

 a=1 の場合も、nは 99999a の約数でなければなりません。

 すなわち、nは 99999 の約数です。当然 nは 99999a の約数になります。

 次に、k=2,3,4,5,6,7,8,9 として、

 10000k≦n<10000(k+1) のときは、n自身がnの倍数ですので、

 a=k の場合も、nは 99999a の約数でなければなりません。

 すなわち、nは 99999k の約数でなければなりません。

 nは 99999k=32・41・271k の約数ですが、

 41 や 271 で割ると最大でも 32・271k=2439k で 10000k≦n を満たしません。

 従って、nは 41・271=11111 の倍数だけです。

 nの5桁の倍数も 11111 の倍数だけですので、問題文の性質をもつことは明らかです。

 よって、nは 99999 の約数 または 22222, 44444, 55555, 66666, 77777, 88888 です。

 99999=32・41・271 の約数に6個を加えて、3・2・2+6=18 個となります。


☆ 表現の仕方は違いますが、結局、同様な内容になります。

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Comments 12

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

やさしい色のピンク色!
恥らっているように見えてます (o^-^o) ポチ♪

スモークマン  
No title

つられて...『椿三十郎』って映画を思い出しました...♪
モノクロだったけど...あの椿は...天然色ならきっと赤にしただろうなぁ...なんて...^^
調べてみました...やっぱり...「「私の名前ですか。…つばき、椿三十郎。いや、もうそろそろ四十郎ですが」と冗談とも本気ともつかない返事で空を見上げている。つられて奥方、娘、若者たちも外を見上げると屋敷の塀越しに真っ赤なツバキが咲いていた。
*この象徴的な「赤いツバキ」はスタッフがモノクロの画面の中で、どんな色にしたら本当に赤であるように見えるか、と研究した結果、赤いものより黒く塗ったもののほうがモノクロの映像では赤であるかのように見えたため、撮影現場で黒く塗ったものである。モノクロの中で赤い椿だけカラーにする案もあったが技術的問題で出来なかった。」http://ja.wikipedia.org/wiki/椿三十郎 より...^^v

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとポチを有難う御座います。
「恥らっているように」見えるこの花の名前は「乙女椿」を書かれていました。
椿の時期が過ぎているのですが、美しく残っていたので、20日ほど前に撮りました。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
以前TVで見たのですが、モノクロの写真のもとの色が分かる人がいるそうです。
その人は、昔の景色を復元するのに協力しているそうです。
そんな人が見たら、黒い椿はグロテスクでしょうね。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
カラー→モノクロなら...
その逆関数で復元可能のはずですよね...^^
手ぶれ防止もそんな機序なんだと思ってるけど...?...
実際にセピアカラーのフォトから鮮やかなカラーに戻す機器があったはずです...♪...人間にも可能な人がいらっしゃるんですね~^^v
たしかに...黒はグロイ ^^; Orz...

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、再度のコメントを有難う御座います。
逆関数は必ずしも存在しないから難しいです。
異なる色の明度が等しい場合があるからです。
空の一部だけをモノクロで写すと青空と夕焼けの区別ができるでしょうか?
周囲の景色が写っていれば、たとえば影の長さで、判断可能になるのでは?

スモークマン  
No title

やどかりさんへ ^^
なるほど...
1:1じゃなくって...多→少のときは...無理ってことなんですね...^^; 色調でモノクロの微妙なパターンが変わるのかと思ってました...Orz...v

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさんへ^^
多→少のときの復元がもし可能だったら素晴らしいです。
画素の少ない写真や動画を保存すれば、容量の大きいHDDが不要になります。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
たしか...軍事衛星からの情報はフラクタル化されてるんでしたよね...?
いくら拡大しても精密さが失われないからだったような気が...
関係ない話でした...Orz...

いっちゃん  
No title

光の加減で淡い花の色がとても素敵に撮られてすてきですね。
私の好きな色合いです。

お二人の染色技術のお話で、故黒沢監督の「天国と地獄」の煙。彼を崇拝していたスピルバーグ監督の「シンドラーのリスト」の赤い服の女の子の場面を思いだしました。
モノクロのなかでの赤は印象的ですよね。。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
情報は効率良く書きかえることによって圧縮ができます。
MS-DOSの容量の少ない時にいろんな圧縮ソフトがありました。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
もう時期ではないので椿を撮る気はなかったのですが、
乙女椿があまりにも美しい色合いで咲いていたので撮りました。