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[答1301] 格子点の個数

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1301] 格子点の個数


 座標が全部整数である点を格子点といいます。

 (1) xy平面において、領域 |x|+|y|≦25 にある格子点の個数は?

 (2) xyz空間において、領域 |x|+|y|+|z|≦25 にある格子点の個数は?


[解答1]

 kを自然数として、|x|+|y|=k の格子点は、

 (0,k),(1,k-1),(2,k-2),……,(k-1,1),(k,0) と、

 その符号を変えたものだから、2+4(k-1)+2=4k 個、

 nを自然数として、|x|+|y|≦n の格子点は、

 |x|+|y|=k (k=1,2,……,n) と (0,0) だから、4・n(n+1)/2+1=2n(n+1)+1 個です。

 よって、xy平面において、領域 |x|+|y|≦25 にある格子点の個数は 2・25・26+1=1301 です。

 kを自然数として、|x|+|y|+|z|=k の格子点は、

 z≧0 のとき z座標を無視すれば |x|+|y|≦k の格子点と同じ 2k(k+1)+1 個、

 z≦0 のときも同数の 2k(k+1)+1 個、z=0 の場合は重複しており、それは、

 (0,k,0),(1,k-1,0),(2,k-2,0),……,(k-1,1,0),(k,0,0) の 4k個、

 よって、2{2k(k+1)+1}-4k=4k(k+1)+2-4k=4k2+2 個、

 nを自然数として、|x|+|y|+|z|≦n の格子点は、

 |x|+|y|+|z|=k (k=1,2,……,n) と (0,0,0) だから、

 4・n(n+1)(2n+1)/6+2n+1=2n(n+1)(2n+1)/3+2n+1 個です。

 xyz空間において、領域 |x|+|y|+|z|≦25 にある格子点の個数は 2・25・26・51/3+51=22151 です。 


[解答2]

 nを自然数として、|x|+|y|≦n のとき、|x|≦n-|y| 、

 これを満たす整数 x は 2(n-|y|)+1=(2n+1)-2|y| 個あって、

 y=-n から y=n までを加えると、(2n+1)(2n+1)-2・n(n+1)=2n(n+1)+1 です。

 よって、xy平面において、領域 |x|+|y|≦25 にある格子点の個数は 2・25・26+1=1301 です。

 nを自然数として、|x|+|y|+|z|≦n のとき、|x|+|y|≦n-|z| 、

 これを満たす整数 x,y は 2(n-|z|)(n-|z|+1)+1=2n(n+1)+1-2(2n+1)|z|+2|z|2 個あって、

 z=-n から z=n までを加えると、

 2n(n+1)(2n+1)+(2n+1)-2(2n+1)・n(n+1)+2・n(n+1)(2n+1)/3

  =2n(n+1)(2n+1)/3+(2n+1) です。

 xyz空間において、領域 |x|+|y|+|z|≦25 にある格子点の個数は 2・25・26・51/3+51=22151 です。 

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Comments 8

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スモークマン  
グーテンターク ^^

正方形内の格子点の個数を右辺が29〜0まで加えて、
その2倍から1301を引けばいいと思うも...
何回も間違ったのが不思議...^^;

yahooからの移行ツールにここのがなくて...
ここの移行ツールはよくわからなくて...
7月にはてなの移行ツールが届くようなので...
それを試してみようかしらんと思ったりしているところです Orz〜

くろまめ  
こんにちは!

色々な花がありますね^-^

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
この問題は用心深く解かないといけません。
他にも複数回間違えた方がいました。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: こんにちは!

くろまめさん、初めまして。コメントをありがとうございます。
花の写真はかなり沢山アップしていますので、
よろしければまたご訪問ください。

アキチャン  

おはようございます。
白色はいいですね(*´∀`*)

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

アキチャンさん、コメントをありがとうございます。
関西にはこの色の方が多いでしょうか。
ホタルブクロに梅雨の季節を感じます。

ひとりしずか  

(*´∇`)ノ こんばんは~
白いホタルブクロこちらでは少ないです。
ムラサキの斑点入りですてきですネ

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ひとりしずかさん、コメントをありがとうございます。
白いホタルブクロは当方では自生しています。
山間部に近い所ではよく咲いています。