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[答1302] 辺や対角線でできる三角形

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1302] 辺や対角線でできる三角形


 正方形と2本の対角線でできる図には、正方形の頂点3個を頂点とする三角形が4個、

 対角線の交点と正方形の頂点2個を頂点とする三角形が4個の 計8個の三角形があります。

 では、正九角形とその対角線27本でできる図にある三角形の個数は?

1302-三角形の数


[解答]

 正九角形の頂点 m 個と 対角線の交点 n 個を頂点とする三角形を mn-type ということにします。

 正九角形の対角線は3本以上が同じ点で交わりません。

 30-type は、93=84 個あります。

 21-type は、正九角形の4個の頂点に対して4個できますので、4・94=504 個あります。

 12-type は、5個の頂点を選んで、1つの点から左回りに A,B,C,D,E とすれば、

 対角線 AC,CE,BD で 1個の三角形ができますので、5・94=630 個あります。

 03-type は、正九角形の6個の頂点に対して1個できますので、96=84 個あります。

 従って、84+504+630+84=1302 個の三角形があることになります。

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Comments 2

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スモークマン  
グーテンターク ^^

9=3+6=4+5
so...△と残りの六角形、□と残りの五角形でできる三角ですべて...
c(9,3)+4*c(9,4)+5*c(9,5)+c(9,6)

算チャレで類似問考えたことありました ^^

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
この問題は九角形に限らず、3本以上の対角線が内部で交わらない凸多角形で同じように解けます。
ということで、 9=3+6=4+5 はあまり関係ありません。