[答1303] メビウスの輪と三角形

[答1303] メビウスの輪と三角形


　幅が 2 ，長さが L の長方形でメビウスの輪を作り、図のように折って内側に三角形を作ります。

　この三角形の面積が 195/4 ，内接円の半径が 3 のとき、L＝？

　なお、メビウスの輪を作るときの糊代は考えないものとする。


[解答1]


　図のように、内側の三角形を △ABC ，外側の辺を延長して作った三角形を △PQR とすれば、

　メビウスの輪を折って重なる部分とメビウスの輪と△PQRの隙間の面積が等しいので、

　△PQR と △ABC の間の部分は、幅が 2 ，長さが L の長方形と面積が等しくなります。

　また、△PQR∽△ABC で、相似比は 内接円の半径の比で 5：3 、面積比は △PQR：△ABC＝25：9 、

　(△PQR－△ABC)：△ABC＝16：9 、△PQR－△ABC＝(16/9)△ABC＝(16/9)(195/4)＝260/3 です。

　2L＝△PQR－△ABC＝260/3 、L＝130/3 です。


[解答2] スモークマン様のコメントより

　折り目の中点３個を頂点とする三角形は 内接円の半径が 4 ，周囲の長さが L です。

　また、内側の三角形と相似で、相似比が 3：4 だから、その面積は、

　4L/2＝(195/4)(4/3)² 、L＝130/3 です。


☆ 内側の三角形の例として、３辺が 41/4，39/4，25/2 のものがあります。

☆ 紙の幅を d ，三角形の面積を S ，内接円の半径を r とすれば、

　　長さは (2r＋d)S/r² です。

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