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[答1306] 他の2数の和

ヤドカリ

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[答1306] 他の2数の和


 x,y,z がすべて 次の範囲の整数であるとき、(2,3,5),(3,5,2),(4,4,8) のように、

 3数のうちの1つが他の2数の和になるような(x,y,z)は何組?

  (0) 0以上 29以下  (1) 1以上 30以下  (2) 2以上 31以下  (3) 3以上 32以下


[解答1]

 x=y+z の場合は x,y を、y=z+x の場合は y,z を、z=x+y の場合は z,x を決めます。

 (0) x,y,z がすべて 0以上 29以下の整数の場合

  0 から 29 までの数から 異なる2個を選び、大きい方を M ,小さい方を m として、

  (x,y,z)=(M,m,M-m),(M-m,M,m),(m,M-m,M) とすれば、

  (x,y,z)=(0,0,0) 以外は全部が表されますので、

  3・302+1=3・30・29/2!+1=1306 組です。

 (1) x,y,z がすべて 1以上 30以下の整数の場合

  1 から 30 までの数から 異なる2個を選び、大きい方を M ,小さい方を m として、

  (x,y,z)=(M,m,M-m),(m,M-m,M),(M-m,M,m) とすればよいので、

  3・302=3・30・29/2!=1305 組です。

 (2) x,y,z がすべて 2以上 31以下の整数の場合

  3 から 31 までの数から 異なる2個を選び、大きい方を M ,小さい方を m として、

  (x,y,z)=(M,m-1,M-m+1),(m-1,M-m+1,M),(M-m+1,M,m-1) とすればよいので、

  3・292=3・29・28/2!=1218 組です。

 (3) x,y,z がすべて 3以上 32以下の整数の場合

  5 から 32 までの数から 異なる2個を選び、大きい方を M ,小さい方を m として、

  (x,y,z)=(M,m-2,M-m+2),(m-2,M-m+2,M),(M-m+2,M,m-2) とすればよいので、

  3・282=3・28・27/2!=1134 組です。


[解答2] たけちゃんさんのコメントより

 和が自然数nとなる2個の自然数の組は n-1 通りになる.

 (0) x,y,z がすべて 0以上 29以下の整数の場合

  3つのパターン

  ・ (x,y,z)=(0,0,0)

  ・ x,y,z のうち1つだけが 0 で,他の2つは等しい正の数

  ・ x,y,z のうちの最大数が 2~29 で,残り2数の和が最大数と一致

  があり得て,
        29
  1+3・29+3Σ(k-1)=1+87+3・28・29/2=1306(組).
        k=2

 (1) x,y,z がすべて 1以上 30以下の整数の場合

  x,y,z のうちの最大数が 2~30 で,残り2数の和が最大数と一致すればよく,
   30
  3Σ(k-1)=3・29・30/2=1305(組).
   k=2

 (2) x,y,z がすべて 2以上 31以下の整数の場合

  x-1,y-1,z-1 のうちの最大数が 3~30 で,残り2数の和が (最大数)-1 になる.
   30
  3Σ(k-2)=3・28・29/2=1218(組).
   k=3

 (3) x,y,z がすべて 3以上 32以下の整数の場合

  x-2,y-2,z-2 のうちの最大数が 4~30 で,残り2数の和が (最大数)-2 になる.
   30
  3Σ(k-3)=3・27・28/2=1134(組).
   k=4

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Comments 6

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スモークマン  
グーテンターク ^^

画面仕様が変わりましたのね ^^
取説に慣れられたってことあるね☆

すべてが0でない限り、3数はすべて同じになることはなく、一番大きい数が1個決まることから…

(1)30〜1の間に仕切りを入れると...29
so...29+28+...+1 の3倍
(2)30〜2・・・28+27+...+1の3倍
(3)30〜3・・・27+26+...+1の3倍
のように考えました ^^

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
私は記事を書くときに、見やすいように改行していました。
今までのテンプレートでは、Yahoo!の記事より1行が短く、
引っ越しして 改行がおかしなことになっていましたので、
それを解決できるものを見つけて変更しました。
ところで、
貴殿の(1)(2)(3)の式はたけちゃんさんの式と同じですが、
どのように考えたのか その説明が明確ではありません。
解答説明に使えるような説明が欲しいと思いました。

ゆうこ  

こんばんわ~
ゆりはスカシユリかしら?
鮮やかな色で写真もとっても素敵です。
台風は大丈夫でしたか?

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ゆうこさん、コメントを有難うございます。
仰る通りスカシユリです。
色んな色があって綺麗です。
ところで、台風が去った後の蒸し暑さで体力消耗しています。

ひとりしずか  

スカシユリにぎやかに咲いていますネ

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ひとりしずかさん、コメントを有難うございます。
スカシユリは色が多様できれいですね。
同じ色が固まっていてもいいし、色が混ざっていてもいいですね。