[答1307] 最大数の期待値

[答1307] 最大数の期待値


　1 から 19 までのカードが１枚ずつあって、この中から無作為に 13 枚を取り出すとき、

　取り出した 13 枚のカードの最大数の期待値は？


[解答]

　₁₉Ｃ₁₃＝c とすれば、最大数が 13 である確率は 1/c で、

　k＝14，15，……，19 として、最大数が k である確率は (_kＣ₁₃－_k-1Ｃ₁₃)/c です。

　求める期待値を E とすれば、

　E＝13･1/c＋14(₁₄Ｃ₁₃－₁₃Ｃ₁₃)/c＋15(₁₅Ｃ₁₃－₁₄Ｃ₁₃)/c＋……＋19(₁₉Ｃ₁₃－₁₈Ｃ₁₃)/c

　 ＝－₁₃Ｃ₁₃/c－₁₄Ｃ₁₃/c－₁₅Ｃ₁₃/c－……－₁₈Ｃ₁₃/c＋19･₁₉Ｃ₁₃/c です。

　ここで、₁₃Ｃ₁₃＋₁₄Ｃ₁₃＋₁₅Ｃ₁₃＋……＋₁₈Ｃ₁₃ は、

　19 以下の自然数から 14 個を選ぶとき、最大数が 14，15，……，19 である場合を加えたもので、

　₁₉Ｃ₁₄ に等しくなります。

　E＝－₁₉Ｃ₁₄/c＋19･₁₉Ｃ₁₃/c＝－₁₉Ｃ₁₄/₁₉Ｃ₁₃＋19＝－｛19!/(14!･5!)｝/｛19!/(13!･6!)｝＋19

　 ＝－(13!･6!)/(14!･5!)＋19＝－6/14＋19＝130/7 です。


[参考]

　１からｎまでのカードから無作為にｍ枚を取り出すときの最大数の期待値であれば、

　E＝－(n－m)/(m＋1)＋n＝｛(m＋1)n－(n－m)｝/(m＋1)＝(n＋1)m/(m＋1) です。

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