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[答1309] いくつかの自然数の和

ヤドカリ

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[答1309] いくつかの自然数の和


 70以上 90以下の2個以上の異なる自然数の和で表される数の個数は?

 89+90<200 ,70+71+72>200 なので、200は この条件では表すことができません。

 70+71+72+87 と表される 300のような自然数が何個あるかを求める問題です。


[解答]

 最小数は 70+71=141 、最大数は 70+71+72+……+90=1680 で、

 141以上 1680以下で、2個以上の異なる自然数の和で表されない数の個数を減じます。

 例えば、4個の和で表される最小数は 70+71+72+73=286 、最大数は 87+88+89+90=354 で、

 70+71+72+d (d=73,74,……,90) ,70+71+c+90 (c=72,73,……,89) ,

 70+b+89+90 (b=71,72,……,88) ,a+88+89+90 (a=70,71,……,87) を考えれば、

 4個の和で 286 から 354 までのすべての自然数が表されることが分かります。

 同様に、k個の自然数の和の場合は、

 最小数の 70k+(k-1)k/2 から 最大数の 90k-(k-1)k/2 までのすべての自然数が表されます。

 (k+1)個の自然数の和の最小数は 70(k+1)+k(k+1)/2 ですので、

 70(k+1)+k(k+1)/2>90k-(k-1)k/2+1 のとき、その間の自然数は和で表されません。

 左辺から右辺を減じると、k2-20k+69 で、この値が正のとき表されない自然数の個数です。

 k2-20k+69=(k-10)2-31>0 のとき、|k-10|≧6 、

 また、2≦k≦20 だから、k=2,3,4,16,17,18,19,20 です。

 (2-10)2+(3-10)2+(4-10)2+(16-10)2+(17-10)2+(18-10)2+(19-10)2+(20-10)2-31・8=231 、

 141 から 1680 のうち和で表されない数が 231個だから、求める個数は 1680-140-231=1309 です。


[参考] たけちゃんさんのコメントを参考に

 70 から 90 までの 21 個の数の総和は 70+71+72+……+90=1680 ですので、

 k個の数の和でnが表せるか否か と (21-k)個の数の和で(1680-n)が表せるか否かは 一致します。

 840以下で表されるのが 840を含めて 644 個であることを確認すれば、

 840以上で19個以内の和で表されるのも 644 個であり、

 19個以内の和で表されるのは 644・2-1=1287 個になります。

 20個の和で表されるのは 1840-90,1840-89,……,1840-70 の 21個、

 21個の和で表されるのは 1840 の 1個だから、1287+21+1=1309 個です。

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Comments 2

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ひとりしずか  

ネムノキこちらも満開です!
花がどこなのか……

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ひとりしずかさん、コメントをありがとうございます。
夕陽を浴びて部分的に輝いていました。
この花の雰囲気はいいですね。