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[答1310] 角の3等分線

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1310] 角の3等分線


 △ABCの辺BC上に頂点Bに近い方から2点P,Qを BP:PQ:QC=9:7:8 になるようにとると、

 ∠BAP=∠PAQ=∠QAC になりました。

 頂点Aから辺BCにおろした垂線をAHとするとき、BH/HC=? また、AH/BC=?

1310-角の3等分


[解答1]

 BA:AQ=BP:PQ=9:7 より AB=9a,AQ=7a 、PA:AC=PQ:QC=7:8 より AP=7b,AC=8b とし、

 BP:PQ:QC=9:7:8 より BP=9k,PQ=7k,QC=8k とします。

 余弦定理より、2cos∠PAQ=(49a2+49b2-49k2)/(7a・7b)=(a2+b2-k2)/(ab) 、

 2cos∠BAP=(81a2+49b2-81k2)/(9a・7b)=(81a2+49b2-81k2)/(63ab) 、

 2cos∠QAC=(49a2+64b2-64k2)/(7a・8b)=(49a2+64b2-64k2)/(56ab) だから、

 81a2+49b2-81k2=63(a2+b2-k2) ,49a2+64b2-64k2=56(a2+b2-k2) 、

 9a2-7b2=9k2 ,-7a2+8b2=8k2 、これを解いて、a2=128k2/23 ,b2=135k2/23 ですので、

 AB2=81a2=81・128k2/23 ,AC2=64b2=64・135k2/23 です。

 三平方の定理より、AH2=AC2-HC2=AB2-BH2 、BH2-CH2=AB2-AC2=64・27k2/23 、

 (BH+HC)(BH-HC)=64・27k2/23 で、BH+HC=BC=24k だから、BH-HC=72k/23 、

 BH=312k/23 ,HC=240k/23 、BH/HC=312/240=13/10 です。

 AH2=AC2-HC2=64・135k2/23-2402k2/232=64・9・5(23・3-20)k2/232=64・9・5・49k2/232

 AH=(8・3・7√5)k/23 、AH/BC=(7√5)/23 です。


[解答2]

 BP:PQ:QC=9:7:8 より BP=9k,PQ=7k,QC=8k とし、

 xy平面上に、A(x,y),B(0,0),P(9k,0),Q(16k,0),C(24k,0) をとります。

 BA:AQ=BP:PQ=9:7 より 9AQ=7AB 、81AQ2=49AB2 、81{(x-16k)2+y2}=49(x2+y2) 、

 81x2-2592kx+20736k2+81y2=49x2+49y2 、x2+y2-81kx+648k2=0 、

 PA:AC=PQ:QC=7:8 より 8AP=7AC 、64AP2=49AC2 、64{(x-9k)2+y2}=49{(x-24k)2+y2} 、

 64x2-1152kx+5184k2+64y2=49x2-2352kx+28224k2+49y2 、x2+y2+80kx-1536k2=0 になり、

 x2+y2-81kx+648k2=0 ,x2+y2+80kx-1536k2=0 より 161kx=2184k2 、x=312k/23 、

 y2=-x2-80kx+1536k2=-97344k2/232-24960k2/23+1536k2=141120k2/232 、|y|=(168√5)k/23 、

 BH/HC=x/(24k-x)=(312k/23)/(24k-312k/23)=312/240=13/10 、

 AH/BC=|y|/(24k)=(168√5)k/23/(24k)=(7√5)/23 です。

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Comments 2

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スモークマン  
グーテンアーベント ^^

正弦定理と角の二等分線の長さの式なんぞを使って求めたと思います ^^;v
いっぱい計算した記憶あるも...
書きとどめ損ねてましたゆえ...思い出すこと能わず...^^;;
それにしても秘数にピンポイントの問題群...
『竜宮』探査にも似たり似たりかな ^^☆

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
問題番号に関係する答になるような問題が、
我ながらよく続いているものと思います。
私の道楽に貴殿もよく付き合ってくれています。