[答1313] ６個の内接円

[答1313] ６個の内接円


　鋭角三角形ABCの、頂点から対辺への垂線 AD，BE，CF で６個の三角形に分けます。

　△ABCの垂心を H として、HB＝11 ，HC＝25 ，BC＝30 のとき、

　６個の三角形 △HBD，△HCD，△HCE，△HAE，△HAF，△HBF の内接円の半径の和は？



[解答1]

　HD²＝HB²－BD²＝HC²－CD² だから、CD²－BD²＝HC²－HB² 、(CD＋BD)(CD－BD)＝(HC＋HB)(HC－HB) 、

　CD＋BD＝BC＝30 だから、30(CD－BD)＝36･14 、CD－BD＝84/5 、CD＋BD＝30 と併せて 、

　CD＝117/5 ，BD＝33/5 になり、HB＝5(11/5) ，HD＝3(11/5) だから、HD＝4(11/5)＝44/5 です。

　次に、2△HBC＝BC･HD＝CE･HB＝BF･HC だから、30･44/5＝11･CE＝25･BF 、CE＝24 ，BF＝264/25 です。

　更に、D，E は ABを直径とする円周上で、CE･CA＝CD･CB 、CA＝CD･CB/CE＝(117/5)･30/24＝117/4 、

　D，A は ACを直径とする円周上で、BF･BA＝BD･BC 、BA＝BD･BC/BF＝(33/5)･30/(264/25)＝75/4 、

　D，E は HCを直径とする円周上で、BH･BE＝BD･BC 、BE＝BD･BC/BH＝(33/5)･30/11＝18 、

　D，F は HBを直径とする円周上で、CH･CF＝CD･CB 、CF＝CD･CB/CH＝(117/5)･30/25＝702/25 です。

　また、2△ABC＝BC･AD＝AB･CF 、AD＝AB･CF/BC＝(75/4)(702/25)/30＝351/20 です。

　直角三角形の内接円の半径は (直角を挟む２辺の和－斜辺)/2 だから、

　△HBD は (HD＋BD－HB)/2 、△HCD は (HD＋CD－HC)/2 で、その和は HD＋BC/2－HB/2－HC/2 で、

　同様に、AB，AC に接する２円の半径の和は HF＋AB/2－HA/2－HB/2 ，HE＋AC/2－HA/2－HC/2 になり、

　６円のの半径の和を L とすれば L＝HD＋HE＋HF＋AB/2＋AC/2＋BC/2－HA－HB－HC ですが、

　HE＝BE－HB ，HF＝CF－HC ，HA＝AD－HD だから、

　L＝HD＋(BE－HB)＋(CF－HC)＋AB/2＋AC/2＋BC/2－(AD－HD)－HB－HC

　 ＝2HD＋BE＋CF＋AB/2＋AC/2＋BC/2－AD－2HB－2HC

　 ＝2･44/5＋18＋702/25＋75/4/2＋117/4/2＋30/2－351/20－2･11－2･25＝13．13 です。


[解答2]

　(11＋25＋30)/2＝33 なので、ヘロンの公式により、

　△HBC＝√｛33(33－11)(33－25)(33－30)｝＝√(33･22･8･3)＝132 ですので、

　BC･HD＝2△HBC より 30HD＝2･132 、HD＝44/5 です。

　また、△HBCの外接円の半径を R とすれば、2R＝11･25･30/(2△HBC)＝11･25･30/(2･132)＝125/4 です。

　図のように、△HBCで、頂点を通り、対辺に平行な直線３本でできる三角形を △LMN とすれば、

　AB，AC，AH は △LMNの各辺の垂直二等分線の交点ですので、Aは △LMNの外心になり、

　△LMN∽△HBC で、相似比は 2：1 ですので、BL＝HC＝25 ，CL＝HB＝11 ，HM＝BC＝30 で、

　△LMNの外接円の半径は AL＝AM＝AN＝2R＝125/4 です。

　AB＝√(AL²－BL²)＝√｛(125/4)²－25²｝＝75/4 、AC＝√(AL²－CL²)＝√｛(125/4)²－11²｝＝117/4 、

　AH＝√(AM²－HM²)＝√｛(125/4)²－30²｝＝35/4 、AD＝AH＋HD＝35/4＋44/5＝351/20 です。

　2△ABC＝BC･AD＝AC･BE＝AB･CF より、30･351/20＝(117/4)BE＝(75/4)CF 、BE＝18 ，CF＝702/25 です。

　直角三角形の内接円の半径は (直角を挟む２辺の和－斜辺)/2 だから、

　△HBD は (HD＋BD－HB)/2 、△HCD は (HD＋CD－HC)/2 で、その和は HD＋BC/2－HB/2－HC/2 で、

　同様に、AB，AC に接する２円の半径の和は HF＋AB/2－HA/2－HB/2 ，HE＋AC/2－HA/2－HC/2 になり、

　６円のの半径の和を L とすれば L＝HD＋HE＋HF＋AB/2＋AC/2＋BC/2－HA－HB－HC ですが、

　HD＝AD－HA ，HE＝BE－HB ，HF＝CF－HC だから、

　L＝AD－HA＋BE－HB＋CF－HC＋AB/2＋AC/2＋BC/2－HA－HB－HC

　 ＝AD＋BE＋CF＋AB/2＋AC/2＋BC/2－2HA－2HB－2HC

　 ＝351/20＋18＋702/25＋75/4/2＋117/4/2＋30/2－2･35/4－2･11－2･25＝13．13 です。

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