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[答1313] 6個の内接円

ヤドカリ

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[答1313] 6個の内接円


 鋭角三角形ABCの、頂点から対辺への垂線 AD,BE,CF で6個の三角形に分けます。

 △ABCの垂心を H として、HB=11 ,HC=25 ,BC=30 のとき、

 6個の三角形 △HBD,△HCD,△HCE,△HAE,△HAF,△HBF の内接円の半径の和は?
1313-6個の円0


[解答1]

 HD2=HB2-BD2=HC2-CD2 だから、CD2-BD2=HC2-HB2 、(CD+BD)(CD-BD)=(HC+HB)(HC-HB) 、

 CD+BD=BC=30 だから、30(CD-BD)=36・14 、CD-BD=84/5 、CD+BD=30 と併せて 、

 CD=117/5 ,BD=33/5 になり、HB=5(11/5) ,HD=3(11/5) だから、HD=4(11/5)=44/5 です。

 次に、2△HBC=BC・HD=CE・HB=BF・HC だから、30・44/5=11・CE=25・BF 、CE=24 ,BF=264/25 です。

 更に、D,E は ABを直径とする円周上で、CE・CA=CD・CB 、CA=CD・CB/CE=(117/5)・30/24=117/4 、

 D,A は ACを直径とする円周上で、BF・BA=BD・BC 、BA=BD・BC/BF=(33/5)・30/(264/25)=75/4 、

 D,E は HCを直径とする円周上で、BH・BE=BD・BC 、BE=BD・BC/BH=(33/5)・30/11=18 、

 D,F は HBを直径とする円周上で、CH・CF=CD・CB 、CF=CD・CB/CH=(117/5)・30/25=702/25 です。

 また、2△ABC=BC・AD=AB・CF 、AD=AB・CF/BC=(75/4)(702/25)/30=351/20 です。

 直角三角形の内接円の半径は (直角を挟む2辺の和-斜辺)/2 だから、

 △HBD は (HD+BD-HB)/2 、△HCD は (HD+CD-HC)/2 で、その和は HD+BC/2-HB/2-HC/2 で、

 同様に、AB,AC に接する2円の半径の和は HF+AB/2-HA/2-HB/2 ,HE+AC/2-HA/2-HC/2 になり、

 6円のの半径の和を L とすれば L=HD+HE+HF+AB/2+AC/2+BC/2-HA-HB-HC ですが、

 HE=BE-HB ,HF=CF-HC ,HA=AD-HD だから、

 L=HD+(BE-HB)+(CF-HC)+AB/2+AC/2+BC/2-(AD-HD)-HB-HC

  =2HD+BE+CF+AB/2+AC/2+BC/2-AD-2HB-2HC

  =2・44/5+18+702/25+75/4/2+117/4/2+30/2-351/20-2・11-2・25=13.13 です。


[解答2]

 (11+25+30)/2=33 なので、ヘロンの公式により、

 △HBC=√{33(33-11)(33-25)(33-30)}=√(33・22・8・3)=132 ですので、

 BC・HD=2△HBC より 30HD=2・132 、HD=44/5 です。

 また、△HBCの外接円の半径を R とすれば、2R=11・25・30/(2△HBC)=11・25・30/(2・132)=125/4 です。

 図のように、△HBCで、頂点を通り、対辺に平行な直線3本でできる三角形を △LMN とすれば、

 AB,AC,AH は △LMNの各辺の垂直二等分線の交点ですので、Aは △LMNの外心になり、

 △LMN∽△HBC で、相似比は 2:1 ですので、BL=HC=25 ,CL=HB=11 ,HM=BC=30 で、

 △LMNの外接円の半径は AL=AM=AN=2R=125/4 です。

 AB=√(AL2-BL2)=√{(125/4)2-252}=75/4 、AC=√(AL2-CL2)=√{(125/4)2-112}=117/4 、

 AH=√(AM2-HM2)=√{(125/4)2-302}=35/4 、AD=AH+HD=35/4+44/5=351/20 です。

 2△ABC=BC・AD=AC・BE=AB・CF より、30・351/20=(117/4)BE=(75/4)CF 、BE=18 ,CF=702/25 です。

 直角三角形の内接円の半径は (直角を挟む2辺の和-斜辺)/2 だから、

 △HBD は (HD+BD-HB)/2 、△HCD は (HD+CD-HC)/2 で、その和は HD+BC/2-HB/2-HC/2 で、

 同様に、AB,AC に接する2円の半径の和は HF+AB/2-HA/2-HB/2 ,HE+AC/2-HA/2-HC/2 になり、

 6円のの半径の和を L とすれば L=HD+HE+HF+AB/2+AC/2+BC/2-HA-HB-HC ですが、

 HD=AD-HA ,HE=BE-HB ,HF=CF-HC だから、

 L=AD-HA+BE-HB+CF-HC+AB/2+AC/2+BC/2-HA-HB-HC

  =AD+BE+CF+AB/2+AC/2+BC/2-2HA-2HB-2HC

  =351/20+18+702/25+75/4/2+117/4/2+30/2-2・35/4-2・11-2・25=13.13 です。

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Comments 6

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ゆうこ  

おはようございます。
昨日は暑くないけど一時青空が見えて
気持ちがよかったです。
今日は薄日が差していますが
一日曇りなんだと思います。

白い花は百合の花ですか?
インドハマユウかな~~
白い花は清潔感がいっぱい見えていいですね。

スモークマン  
グーテンターク ^^

下の△2個と右横の△の面積を垂線の長さから求めて
内接円の半径rは、周長*r=2*直角三角形の面積で求めて
あとは相似比から求めました。
結構な計算量にて、最後の計算式のみで提出させていただきました Orz
算額にあってもいいような問題ですね♪

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ゆうこさん、早速のコメントを有難うございます。
梅雨も半ばを過ぎるとインドハマユウが咲き出します。
白い、清潔感のある花ですね。
こちらは天気が悪く多湿で、少し歩くと汗が流れます。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
そんなに難しい計算ではないですが、計算量は多いですね。
適当に端折ってくれるのがいいです。

-  

インドハマユウ、ユリに似たすてきな花姿!

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

19/07/27/15:53:42の匿名さま、コメントを有難うございます。
インドハマユウが咲く時期は、湿度が高く過ごしにくいです。
清々しい色と形に癒されます。