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反転

ヤドカリ

ヤドカリ

P7100418.jpg

平面上の点から平面上の点への「反転」という変換があります。
うまく使えば、円を扱うときに計算が簡単になります。

中心が O で半径が r の円に関して「反転」とは、
点Pに対して、OP・OQ=r2 を満たす半直線OP上の点Qに変換することで、
中心O以外は全単射の変換で、中心Oは 無限遠点という仮想の点に変換します。

  反転

 座標平面上で、中心が原点で半径が r の円に関しての反転で
 点(p,q) は 点(r2p/(p2+q2),r2q/(p2+q2))に変換されます。
 c>0 として、この反転により、(x-a)2+(y-b)2=c2 は つぎのように変換されます。
 {r2x/(x2+y2)-a}2+{r2y/(x2+y2)-b}2=c2
 {r2x-a(x2+y2)}2+{r2y-b(x2+y2)}2={c(x2+y2)}2
 (a2+b2-c2)(x2+y2)2-2(ax+by)r2(x2+y2)+r4(x2+y2)=0 、(a2+b2-c2)(x2+y2)-2r2(ax+by)+r4=0 、
 ここで、a2+b2-c2=k とおきます。
 k=0 のとき、すなわち (x-a)2+(y-b)2=c2 が原点を通るとき、直線 2ax+2by=r2 になります。
 また、k≠0 のとき、すなわち (x-a)2+(y-b)2=c2 が原点を通らないとき、
 x2+y2-2ar2x/k-2br2y/k+r4/k=0 、
 (x-ar2/k)2+(y-br2/k)2=(a2+b2)r4/k2-r4/k であり、
 (a2+b2)r4/k2-r4/k=(c2-k)r4/k2-r4/k=(cr2/k)2 だから、
 (x-ar2/k)2+(y-br2/k)2=(cr2/k)2 です。

座標平面上で、中心が原点で半径が r の円に関しての反転で、
中心が(a,b)で半径が c の円を変換すると、
円が原点を通るとき、直線 2ax+2by=r2 になり、
円が原点を通らないとき、中心の座標も半径も r2/(a2+b2-c2) 倍の円になります。
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Comments 2

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澄んだきれいな黄色ですネ

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

19/07/27/15:47:26の匿名さま、コメントを有難うございます。
ハマボウの黄色の花は私にとって好きな花です。
この花が咲くと、梅雨明け⇒本格的な夏 です。