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デカルトの円定理

ヤドカリ

ヤドカリ

P7210586.jpg

デカルトの円定理
 互いに2個ずつ外接する 半径 a,b,c の円が 半径 r の円に内接するとき、
 (1/a+1/b+1/c-1/r)2=2(1/a2+1/b2+1/c2+1/r2) が成り立ちます。
 これをデカルトの円定理といいます。

デカルト0
[証明1]
 それぞれの円の中心を A,B,C,R とし、∠BRC=2α,∠CRA=2β,∠ARB=2γ とします。
 cos2α={(r-b)2+(r-c)2-(b+c)2}/{2(r-b)(r-c)}=(r2-br-cr-bc)/{(r-b)(r-c)} 、
 1-2sin2α=1-2bc/{(r-b)(r-c)} 、sin2α=bc/{(r-b)(r-c)} になり、
 同様に、sin2β=ca/{(r-c)(r-a)} ,sin2γ=ab/{(r-a)(r-b)} です。
 ここで、α+β+γ=π を利用して、
 sin2α+sin2β-sin2γ=1-(1/2)(cos2α+cos2β)-1+cos2γ
  =-cos(α+β)cos(α-β)+cos2γ=cosγcos(α-β)+cos2γ=cosγ{cos(α-β)+cosγ}
  =2cosγcos(α/2-β/2+γ/2)cos(α/2-β/2-γ/2)=2cosγcos(π/2-β)cos(α-π/2)
  =2sinαsinβsinγcosγ/sinγ になり、
 sin2α+sin2β-sin2γ=bc/{(r-b)(r-c)}+ca/{(r-c)(r-a)}-ab/{(r-a)(r-b)}
  ={bc(r-a)+ca(r-b)-ab(r-c)}/{(r-a)(r-b)(r-c)}
  =(bcr+car-abr-abc)/{(r-a)(r-b)(r-c)}
  =abcr(1/a+1/b-1/c-1/r)/{(r-a)(r-b)(r-c)}
 sin2αsin2βsin2γ=a2b2c2/{(r-a)2(r-b)2(r-c)2} より
 sin2αsin2βsin2γ=abc/{(r-a)(r-b)(r-c)}
 2cosγ/sinγ=(sin2α+sin2β-sin2γ)/(sinαsinβsinγcosγ)=r(1/a+1/b-1/c-1/r) です。
 また、
 (2cosγ/sinγ)2=4cos2γ/sin2γ=4(1-sin2γ)/sin2γ=4(1/sin2γ-1)
  =4{(r-a)(r-b)/(ab)-1}=4(r2-ar-br)/(ab)=4r2/(ab)-4r/b-4r/a だから、
 r2(1/a+1/b-1/c-1/r)2=4r2/(ab)-4r/b-4r/a 、
 (1/a+1/b-1/c-1/r)2=4/(ab)-4/(br)-4/(ar) 、
 簡単のため、1/a=x,1/b=y,1/c=z,1/r=w とおけば、
 (x+y-z-w)2=4xy-4yw-4/xw 、(x+y+z-w-2z)2=4xy-4yw-4xw 、
 (x+y+z-w)2-4z(x+y+z-w)+4z2=4xy-4yw-4xw 、
 (x+y+z-w)2=4yz+4zx+4xy-4xw-4yw-4yw=2(x+y+z-w)2-2(x2+y2+z2+w2) 、
 (x+y+z-w)2=2(x2+y2+z2+w2) 、(1/a+1/b+1/c-1/r)2=2(1/a2+1/b2+1/c2+1/r2) です。

[証明2]
     デカルト1
 反転( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-3576.html )という変換を使えば、
 外側の半径rの円と半径aの円の接点を原点にとり、中心をx軸の正の部分にとります。
 単位円に関する反転を x=p-d ,x=p+d とすれば、r=1/{2(p-d)} ,a=1/{2(p+d)} です。
 半径bの円と半径cの円の単位円に関する反転は x=p-d ,x=p+d に接し、互いに接するので、
 半径はdで、中心を(p,q±d)とすれば、p2+(q±d)2-d2=p2+q2±2qd だから、
 b=d/(p2+q2+2qd) ,c=d/(p2+q2-2qd) とすることができます。
 1/r=w ,1/a=x ,1/b=y ,1/c=z とおけば、
 w=2p-2d ,x=2p+2d ,y=(p2+q2)/d+2q ,z=(p2+q2)/d-2q になり、
 x+w=4p ,x-w=4d ,y+z=2(p2+q2)/d ,y-z=4q です。
 y+z=2(p2+q2)/d より 2・4d(y+z)=(4p)2+(4q)2 、2(x-w)(y+z)=(x+w)2+(y-z)2
 2xy+2xz-2yw-2zw=x2+2xw+w2+y2-2yz+z2
 2yz+2zx+2xy-2xw-2yw-2zw=x2+y2+z2+w2
 x2+y2+z2+2yz+2zx+2xy-2xw-2yw-2zw+w2=2(x2+y2+z2+w2) 、
 (x+y+z)2-2(x+y+z)w+w2=2(x2+y2+z2+w2) 、(x+y+z-w)2=2(x2+y2+z2+w2) 、
 すなわち、(1/a+1/b+1/c-1/r)2=2(1/a2+1/b2+1/c2+1/r2) です。

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Comments 4

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アキチャン  

白色に鮮やかとは形容しないですが、
思わず鮮やか!と言ってしまいます。
綺麗ですね(*´∀`*)

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

アキチャンさん、早速のコメントを有難うございます。
同じモミジアオイでも、この色はなかなか見かけません。
純白も鮮やかと言えますね。

-  

まぁ~白もあるんですネ
清らかな感じです~

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

19/07/27/15:43:13の匿名さま、コメントを有難うございます。
白いモミジアオイは滅多にお目にかかりません・
花の文化園以外で見たことがありません。