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[答1314] 内接・外接する円

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1314] 内接・外接する円


 図のように、半径 4/3 の円に内接し、互いに外接する 半径が 1,4/13 の2円があります。

 このとき、半径 4/3 の円に内接し、半径が 1,4/13 の2円の両方に外接する円の半径は?

1314-内接外接円

[解答1]

 半径 4/3 ,1,4/13 の円の中心を O(0,0),A(-1/3,0),B(m,n) (n≧0) とすれば、

 OB2=m2+n2=(4/3-4/13)2 、m2+n2=1600/1521 、

 AB2=(m+1/3)2+n2=(1+4/13)2 、m2+n2+2m/3=2432/1521 より、

 m=416/507 、n=8/13 、よって、B(416/507,8/13) です。

 求める円の半径を a ,中心を C(p,q) とすれば、

 OC2=p2+q2=(4/3-a)2 、p2+q2-a2=-8a/3+16/9 、

 AC2=(p+1/3)2+q2=(1+a)2 、p2+q2-a2=-2p/3+2a+8/9 、

 -8a/3+16/9=-2p/3+2a+8/9 、p=7a-4/3 です。

 BC2=(p-416/507)2+(q-8/13)2=(a+4/13)2

 p2+q2-a2=832p/507+16q/13+8a/13-112/117=832(7a-4/3)/507+16q/13+8a/13-112/117 、

 p2+q2-a2=472a/39+16q/13-368/117 になり、

 472a/39+16q/13-368/117=-8a/3+16/9 、q=-12a+4 です。

 p2+q2-a2=-8a/3+16/9 に代入して、(7a-4/3)2+(-12a+4)2-a2=-8a/3+16/9 、

 192a2-112a+16=0 、12a2-7a+1=0 、(3a-1)(4a-1)=0 、a=1/3,1/4 です。


[解答2] 反転を使って(たけちゃんさんのコメントに刺激を受けて)

 反転( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-3576.html )という変換を使えば、

 座標平面上で、中心が原点で半径が 4 の円に関しての反転で

 半径4/3の円の中心を(4/3,0),半径1のの中心を(1,0) とすれば、それぞれの反転は、

 8x/3=16,2x=16 すなわち x=6,x=8 です。

 この両方に接する円の中心のx座標は 7 で 半径は 1 ですので、中心のy座標を b とすれば、

 72+b2-12=b2+48 ですので、反転の半径は 1・42/(b2+48)=16/(b2+48) です。

 b>0,16/(b2+48)=4/13 とおけば、b=2 になり、

 求める円の反転の中心のy座標は 2±2=4,0 ですので、

 b=0,4 のとき、16/(b2+48)=1/3,1/4 です。


[解答3]

 デカルトの円定理( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-3577.html )によれば、

 互いに2個ずつ外接する 半径 a,b,c の円が 半径 r の円に内接すれば、

 (1/a+1/b+1/c-1/r)2=2(1/a2+1/b2+1/c2+1/r2) です。

 本問では、求める円の半径を a とすれば、

 (1/a+1+13/4-3/4)2=2(1/a2+12+132/42+32/42) 、

 (1/a+7/2)2=2(1/a2+97/8) 、1/a2+7/a+49/4=2/a2+97/4 、

 1/a2-7/a+12=0 、(1/a-3)(1/a-4)=0 、1/a=3,4 、a=1/3,1/4 です。

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Comments 6

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アキチャン  

こんにちわ。
モミジアオイで良かったのでしょうか。
真っ赤で綺麗ですね(*´∀`*)

スモークマン  
グーテンターク ^^

座標で、計算させて求めましたが...^^;v
反転...beyond me...^^;;
デカルトの円定理...実はシュタイナーの円列で調べてたとき遭遇したのですが...
どう使えばいいのかわかりませんでした ^^;
具体的な問題で、このように使えばいいのかといい勉強になりました♪

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

アキチャンさん、早速のコメントを有難うございます。
仰る通り、モミジアオイです。
よく見かけますが、スッキリした姿が好きです。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
反転という変換は実に美しい変換だと思います。
平面内の円と直線が、平面内の円と直線に変換され、
1対1対応なので2個の図形の共有点の数が不変で、
2円が接することを円と直線が接することとして考えられます。

-  

わぁ~花弁がつやっつや~
今年こそは見にいかなくっちゃ!

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

19/07/27/15:10:18の匿名さま、コメントを有難うございます。
赤い花は、写真で撮ると色が飛びやすいですが、
モミジアオイはわりに撮りやすいです。