[答1314] 内接･外接する円

[答1314] 内接･外接する円


　図のように、半径 4/3 の円に内接し、互いに外接する 半径が 1，4/13 の２円があります。

　このとき、半径 4/3 の円に内接し、半径が 1，4/13 の２円の両方に外接する円の半径は？



[解答1]

　半径 4/3 ，1，4/13 の円の中心を O(0，0)，A(－1/3，0)，B(m，n) (n≧0) とすれば、

　OB²＝m²＋n²＝(4/3－4/13)² 、m²＋n²＝1600/1521 、

　AB²＝(m＋1/3)²＋n²＝(1＋4/13)² 、m²＋n²＋2m/3＝2432/1521 より、

　m＝416/507 、n＝8/13 、よって、B(416/507，8/13) です。

　求める円の半径を a ，中心を C(p，q) とすれば、

　OC²＝p²＋q²＝(4/3－a)² 、p²＋q²－a²＝－8a/3＋16/9 、

　AC²＝(p＋1/3)²＋q²＝(1＋a)² 、p²＋q²－a²＝－2p/3＋2a＋8/9 、

　－8a/3＋16/9＝－2p/3＋2a＋8/9 、p＝7a－4/3 です。

　BC²＝(p－416/507)²＋(q－8/13)²＝(a＋4/13)² 、

　p²＋q²－a²＝832p/507＋16q/13＋8a/13－112/117＝832(7a－4/3)/507＋16q/13＋8a/13－112/117 、

　p²＋q²－a²＝472a/39＋16q/13－368/117 になり、

　472a/39＋16q/13－368/117＝－8a/3＋16/9 、q＝－12a＋4 です。

　p²＋q²－a²＝－8a/3＋16/9 に代入して、(7a－4/3)²＋(－12a＋4)²－a²＝－8a/3＋16/9 、

　192a²－112a＋16＝0 、12a²－7a＋1＝0 、(3a－1)(4a－1)＝0 、a＝1/3，1/4 です。


[解答2] 反転を使って(たけちゃんさんのコメントに刺激を受けて)

　反転( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-3576.html )という変換を使えば、

　座標平面上で、中心が原点で半径が 4 の円に関しての反転で

　半径4/3の円の中心を(4/3，0)，半径1のの中心を(1，0) とすれば、それぞれの反転は、

　8x/3＝16，2x＝16 すなわち x＝6，x＝8 です。

　この両方に接する円の中心のｘ座標は 7 で 半径は 1 ですので、中心のｙ座標を b とすれば、

　7²＋b²－1²＝b²＋48 ですので、反転の半径は 1･4²/(b²＋48)＝16/(b²＋48) です。

　b＞0，16/(b²＋48)＝4/13 とおけば、b＝2 になり、

　求める円の反転の中心のｙ座標は 2±2＝4，0 ですので、

　b＝0，4 のとき、16/(b²＋48)＝1/3，1/4 です。


[解答3]

　デカルトの円定理( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-3577.html )によれば、

　互いに２個ずつ外接する 半径 a，b，c の円が 半径 r の円に内接すれば、

　(1/a＋1/b＋1/c－1/r)²＝2(1/a²＋1/b²＋1/c²＋1/r²)　です。

　本問では、求める円の半径を a とすれば、

　(1/a＋1＋13/4－3/4)²＝2(1/a²＋1²＋13²/4²＋3²/4²) 、

　(1/a＋7/2)²＝2(1/a²＋97/8) 、1/a²＋7/a＋49/4＝2/a²＋97/4 、

　1/a²－7/a＋12＝0 、(1/a－3)(1/a－4)＝0 、1/a＝3，4 、a＝1/3，1/4 です。

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