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[答1315] 内接円の半径と三角形の辺の長さ

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1315] 内接円の半径と三角形の辺の長さ


 △ABCの頂点Aから辺BCにおろした垂線をAHとします。

 △ABH,△AHC,△ABC の内接円の半径がそれぞれ 2,3,4 のとき、AB=? また、AC=?

   1315-内接円と辺


[解答1]

 AH=a ,BH=b ,CH=c ,AB=x ,AC=y とします。

 多角形では 内接円の半径と周囲の長さの積が面積の2倍になりますので、

 2(a+b+x)=ab ,3(a+c+y)=ac ,4(b+c+x+y)=ab+ac です。

 b+x=ab/2-a ,c+y=ac/3-a として 4(b+c+x+y)=ab+ac に代入すれば、

 4(ab/2-a+ac/3-a)=ab+ac 、4(b/2-1+c/3-1)=b+c 、b=8-c/3 です。

 また、三平方の定理より x2=a2+b2=(a+b)2-2ab ,y2=a2+c2=(a+c)2-2ac で、

 x=ab/2-(a+b) を2乗して、(a+b)2-2ab=a2b2/4-ab(a+b)+(a+b)2

 -2ab=a2b2/4-ab(a+b) 、-2=ab/4-(a+b) 、a(b/4-1)=b-2 、

 a(2-c/12-1)=8-c/3-2 、a(1-c/12)=6-c/3 になり、

 y=ac/3-(a+c) を2乗して、(a+c)2-2ac=a2c2/9-2ac(a+c)/3+(a+c)2

 -2ac=a2c2/9-2ac(a+c)/3 、-6=ac/3-2(a+c) 、a(c/3-2)=2c-6 になります。

 a(1-c/12)=6-c/3 ,2c-6=a(c/3-2) を辺々乗じて、a(1-c/12)(2c-6)=a(c/3-2)(6-c/3) 、

 c/3=t とおけば、(1-t/4)(6t-6)=(t-2)(6-t) 、3(4-t)(t-1)=2(t-2)(6-t) 、

 -3t2+15t-12=-2t2+16t-24 、t2+t-12=0 、(t-3)(t+4)=0 、t>0 より t=3 、

 b=8-c/3=8-t=5 ,c=3t=9 、a(c/3-2)=2c-6 より a(3-2)=2・9-6 、a=12 になり、

 x=ab/2-(a+b)=12・5/2-(12+5)=13 ,y=ac/3-(a+c)=12・9/3-(12+9)=15 です。

 AB=x=13 ,AC=y=15 です。


[解答2]

 AH=h,BH=x,CH=y とします。

 AB=AH+BH-2・2=h+x-4 、AB2=AH2+BH2 より (h+x-4)2=h2+x2 、2hx-8h-8x+16=0 、

 (h-4)(x-4)=8 、x=8/(h-4)+4 で、

 AC=AH+CH-2・3=h+y-6 、AC2=AH2+CH2 より (h+y-6)2=h2+y2 、2hx-12h-12y+36=0 、

 (h-6)(y-6)=18 、y=18/(h-6)+6 です。

 次に、内接円の半径を使って、△ABH+△ACH=△ABC だから、

 2(AB+BH+AH)/2+3(AC+CH+AH)/2=4(AB+AC+BC)/2 、2(x+h-2)+3(y+h-3)=4(x+y+h-5) 、

 h+7=2x+y 、h+7=16/(h-4)+8+18/(h-6)+6 、h-7=16/(h-4)+18/(h-6) 、

 (h-7)(h-4)(h-6)=16(h-6)+18(h-4) 、h3-17h2+94h-168=16h-96+18h-72 、

 h3-17h2+60h=0 、h(h-5)(h-12)=0 、h>2・4 だから h=12 になり、

 x=8/(h-4)+4=5 ,y=18/(h-6)+6=9 、AB=h+x-4=13 ,AC=h+y-6=15 です。

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Comments 8

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スモークマン  
グーテンターク ^^

同じようなアプローチでといたはずですが...
手計算は諦めてしまいました ^^;
算額ちっくな問題が次々と生まれてますわね☆

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
手計算でも何とかなることを示しました。
こんな問題を作っていると昔の人はよく算額を考えたものだと思います。

ゆうこ  

黄色のユリもいいですね。
今日、車の中からよそ様のお庭に咲く
黄色のユリを見ました。
とてもよく目立つお花です。
毎日猛暑ですか~
暑さはしばらく続くようです。
お体に気を付けてお過ごしください。
道東もいつになく高温です。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ゆうこさん、コメントをありがとうございます。
黄色のオニユリが咲いていたので、珍しいと思って撮りました。
ところで、この前、ブラタモリという番組で、阿寒湖や摩周湖を扱っていました。
1度しか行ったことがないので、もう1度見たいなぁと思いました。

-  

黄色いユリはほとんど見たことないです~(散歩では)

連日の猛暑が堪えますi-238

いつき  

こんにちは
黄色の鬼ゆりは珍しいと思います。
見ることができて良かったですね。
今日も暑かったです。水分と塩分必要ですね^^

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

19/07/30/08:01:11の匿名さま、コメントを有難うございます。
私も黄色はほとんど見かけません。
珍しいので撮っておきました。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

いつきさん、コメントを有難うございます。
黄色のオニユリも1輪見た時に写真を撮っていました。
ところで、暑さを乗り切るには、水分と塩分の他に体力も重要ですね。