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[答1316] 三角形の辺の長さの比

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1316] 三角形の辺の長さの比


 △ABCの BD=CE=DE となるように 辺AB上に点D,辺AC上に点E をとって、

 BE,CDの交点をPとすれば、PB=PC ,PD:PE=19:10 であるとき、AB:AC=? また、AD:AE=?
1316-辺の比


[解答]

 BD=CE=DE=a ,PD=d ,PE=e ,cos∠DPB=c とすれば、cos∠EPC=c ,cos∠DPE=-c です。

 DB2=DE2 、余弦定理より、PB2+PD2-2・PB・PD・cos∠DPB=PD2+PE2-2・PD・PE・cos∠DPE ですので、

 PB2-2・PB・PD・c=PE2+2・PD・PE・c 、(PB+PE)(PB-PE)=2・PD(PB+PE)・c 、

 PB-PE=2・PD・c 、同様に、EC2=ED2 より、PC-PD=2・PE・c 、

 PB=PC に注意して、PB-PE=2・PD・c ,PC-PD=2・PE・c を辺々減じれば、PD-PE=2(PD-PE)c 、

 c=1/2 、PB=PC=PD+PE=d+e です。

 次に、メネラウスの定理により、

 (AB/BD)(DP/PC)(CE/EA)=1 、AB・DP・CE=BD・PC・EA 、AB・d・a=a・(d+e)・(AC-CE) 、

 dAB=(d+e)(AC-CE) 、同様に、eAC=(d+e)(AB-BD) 、

 CE=BD に注意して、辺々減じれば、dAB-eAC=(d+e)(AC-AB) 、

 dAB-eAC=(d+e)AC-(d+e)AB 、(2d+e)AB=(d+2e)AC 、AB:AC=(d+2e):(2d+e) です。

 dAB=(d+e)(AC-CE) ,eAC=(d+e)(AB-BD) より、

 d(AD+DB)=(d+e)AE ,e(AE+EC)=(d+e)AD 、

 de(AD+DE)=e(d+e)AE ,de(AE+DE)=d(d+e)AD として、辺々減じれば、

 de(AD-AE)=e(d+e)AE-d(d+e)AD 、d(d+2e)AD=e(2d+e)AE 、

 AD:AE=e(2d+e):d(d+2e) です。

 本問では、d:e=PD:PE=19:10 だから、AB:AC=(19+2・10):(2・19+10)=13:16 、

 AD:AE=10(2・19+10):19(19+2・10)=160:247 です。

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Comments 4

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アキチャン  

違うひまわりのように見えていますが、気のせいかしら?
きれいなひまわりですね(*´∀`*)

ほんとはメゾソプラノ  
No title

こんばんは~
子どもがひょこひょこ顔をだしているようで
かわいいひまわりですね!

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

アキチャンさん、コメントを有難うございます。
長居植物園のヒマワリです。
休耕地を利用したもっと規模の大きいのを見てみたいです。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: No title

ほんとはメゾソプラノさん、コメントを有難うございます。
小さい花でもたくさん集まると見栄えしますが、
ヒマワリなら迫力がありますね。