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[答1318] 四角形の面積の5等分

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1318] 四角形の面積の5等分


 四角形ABCDの 辺BC上に Bに近い方から 点P,点Q をとり、辺AD上に 点R をとって、

 線分AP,線分PR,線分RQ,線分QD で分けると、面積が5等分されました。

 AR:RD=8:13 のとき BP:PQ:QC=?

1318-面積5等分
[解答1]

 右上図のように、三角形の辺を a:m:n ,b:p:q に分ける点を結んで、

 水色で示される4個の三角形の面積が等しくなるようにします。

 ab ,a(b+p) ,(a+m)(b+p) ,(a+m)(b+p+q) ,(a+m+n)(b+p+q) は等差数列になるので、

 公差は ap=m(b+p)=(a+m)q=n(b+p+q) となります。

 ap=(a+m)q より a(p-q)=mq 、n(b+p+q)=m(b+p) より nq=(b+p)(m-n) になり、

 ap=m(b+p) より ap(p-q)(m-n)=m(b+p)(p-q)(m-n) だから、

 a(p-q)=mq ,nq=(b+p)(m-n) を代入して、

 mpq(m-n)=mnq(p-q) 、p(m-n)=n(p-q) 、mp-np=np-nq 、

 mp=n(2p-q) とすれば n:m=p:(2p-q) 、

 qn=p(2n-m) とすれば p:q=n:(2n-m) になります。

 四角形BQDAに適用して、BP:PQ=13:(2・13-8)=13:18 、

 四角形CPDAに適用して、CQ:QP=8:(2・8-13)=8:3=48:18 、

 よって、BP:PQ:QC=13:18:48 です。

1318-面積5等分
[解答2] スモークマンさんのコメントを参考に

 右下図のように、比を 右から m:n ,p:q とし、水色の4個の三角形の面積を S とします。

 緑の部分の面積は (m/n)S+(q/p)S=2S ですので、m/n+q/p=2 になります。

 ( m/n+q/p=2 の m/n ,q/p 分子は緑の部分です )

 よって、四角形ABQDに着目すれば、QP/PB+8/13=2 、QP/PB=18/13 、BP/PQ=13/18 であり、

 四角形PCDAに着目すれば、PQ/QC+13/8=2 、PQ/QC=3/8=18/48 だから、

 BP:PQ:QC=13:18:48 です。

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Comments 6

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スモークマン  
グーテンターク ^^

なるほどねぇ ^^
わたしのよりもスマートに求められますわね♪
△PDQ,△PAQの面積がわかれば、連比で求められると考えましたです ^^;v

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
スモークマンさんの解答を参考にしました。
同じようなことをするときは一般化が楽ですね。

ひとりしずか  
おはようございます

滝壺に落ちる水音が聞こえてくるようです~(^_^)

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: おはようございます

ひとりしずかさん、コメントを有難うございます。
水の音が聞こえて来るようです。
モミジの緑が紅だったら、雰囲気がだいぶ違うでしょう。

アキチャン  

こんばんわ。
涼しげですね~♪
久しく滝などを見ていませんよ゚(´・ω・`)

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

アキチャンさん、コメントを有難うございます。
写真でも水の音が聞こえて来るようです。
清らかな水の流れは気持ちが休まります。