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[答124] 内部の三角形の面積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答124] 内部の三角形の面積


 面積が1の△ABCで、BCの中点をD, CAを 2:3 に内分する点を E, ABを 1:2 に内分する点を F,

 BEとCFの交点をP, CFとADの交点をQ, ADとBEの交点をR とするとき、△PQRの面積は?


[解答1]

 △ADCにおいてメネラウスの定理より、

  (AR/RD)(DB/BC)(CE/EA)=1、(AR/RD)(1/2)(2/3)=1、AR:RD=3:1、

  △ABR=(3/4)△ABD=(3/4)(1/2)△ABC=3/8 。

 △BEAにおいてメネラウスの定理より、

  (BP/PE)(EC/CA)(AF/FB)=1、(BP/PE)(2/5)(1/2)=1、BP:PE=5:1、

  △BCP=(5/6)△BCE=(5/6)(2/5)△ABC=1/3 。

 △CFBにおいてメネラウスの定理より、

  (CQ/QF)(FA/AB)(BD/DC)=1、(CQ/QF)(1/3)(1/1)=1、CQ:QF=3:1、

  △CAQ=(3/4)△CAF=(3/4)(1/3)△ABC=1/4 。

 △PQR=△ABC-△ABR-△BCP-△CAQ=1-3/8-1/3-1/4=1/24 。


[解答2] uch*n*anさんの、面積比で解くとこうなる、という解答です。

 △PBA:△PBC=3:2,△PCB:△PCA=2:1,△PAF:△PBF=1:2 より,

 △PBF=(2/(3+2+1))△ABC=(1/3)△ABC です。

 △QCB:△QCA=2:1,△QAC:△QAB=1:1,△QAF:△QBF=1:2 より,

 △QAF=(1/3)△QAB=(1/3)(1/(2+1+1))△ABC=(1/12)△ABC です。

 △RAC:△RAB=1:1=3:3,△RBA:△RBC=3:2 より,

 △RAB=(3/(3+3+2))△ABC=(3/8)△ABC です。

 そこで,

 △PQR=△PBF+△QAF-△RAB=(1/3+1/12-3/8)△ABC=(1/24)・1=1/24

 になります。


[参考1] 一般化

 BD/BC=a,CE/CA=b,AF/AB=c とすれば、以下の式になります。

 △PQR/△ABC={(1-a)(1-b)(1-c)-abc}2/{(ca+1-a)(ab+1-b)(bc+1-c)}


[参考2] 1次変換

 △ABCを1次変換で、座標平面上の A'(0,12), B'(0,0), C'(8,0) に移すと、

 P'(4,4), Q'(2,6), R'(3,3) となります。1次変換により、面積比は不変だから、

 △PQR=△PQR/△ABC=△P'Q'R'/△A'B'C'=2/48=1/24 。

 途中の計算は省略しましたが、このような考え方もあります。

.

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Comments 6

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いっちゃん  
No title

君子蘭が見事に咲いていますね。。
今日の青空に似合うお花だと思います。。

これも緑化センターのお花ですか?

アキチャン  
No title

こんにちわ。
君子ランがきれいですね (o^-^o)
毎年、家でも咲かしていたのに、手入れが悪く、今年はナシです f(^_^;

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
これも緑化センターのお花です。
クンシランなんて名前をよく御存じですね。
よく植えられているのは知っていたのですが、
緑化センターで名前を見るまで、知りませんでした。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、いつもコメントを有難う御座います。
君子ランって、花と葉の色のコントラスト鮮やかですね。
いつも咲いていたものがないのは淋しいですね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
uch*n*anさんの方法はお洒落ですね♪
言われてみると...自然な考え方に思えました ^^v
案外盲点かもしれませんけど...^^;?
でも...いずれにしてもややこしくって...間違いそうなわたし...Orz...

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
定理や公式はかなり計算や思考を省略になりますので、
楽しようと思えばやはりメネラウスですか。
なお、一般化の分子を0にするのは内部に三角形が出来ない場合、
つまり、チェバの定理に相当します。