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[答1319] 垂線の長さの和

ヤドカリ

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[答1319] 垂線の長さの和


 OA=22,OB=26,AB=36 である △OABがあり、Oを通り△OABの内部を通らない直線を引き、

 その直線に A,B からおろした垂線を AP,BQとするとき、AP+BQ が最大になるときの (AP,BQ)=?

1319-垂線の長さ0

[解答1]

 余弦定理より、cos∠AOB=(222+262-362)/(2・22・26)=-136/(2・22・26)=-17/143 、

 sin2∠AOB=1-cos2∠AOB=1-172/1432=(1432-172)/1432=160・126/1432=16・2・5・9・2・7/1432

 sin∠AOB=(4・2・3√35)/143=(24√35)/143 です。

 ∠AOP=α,∠BOQ=β とすれば、β=180゚-∠AOB-α なので、

 sinβ=sin(180゚-∠AOB-α)=sin(∠AOB+α)=sin∠AOBcosα+cos∠AOBsinα

  =(24√35)(cosα)/143-17(sinα)/143 、

 26sinβ=(48√35)(cosα)/11-34(sinα)/11 になります。

 AP+BQ=22sinα+26sinβ=22sinα+(48√35)(cosα)/11-34(sinα)/11

  =208(sinα)/11+(48√35)(cosα)/11=(16/11){(3√35)cosα+13sinα} になります。

 (3√35)2+132=484=222 になり、コーシー・シュワルツの不等式により、

 {(3√35)cosα+13sinα}2≦{(3√35)2+132}(cos2α+sin2α)=222

 (3√35)cosα+13sinα≦22 になり、AP+BQ≦(16/11)・22=32 です。

 また、等号が成り立つのは、22cosα=3√35 ,22sinα=13 のときで、

 26sinβ=(48√35)(cosα)/11-34(sinα)/11=(24√35)(22cosα)/112-17(22sinα)/112

  =(24√35)(3√35)/112-17・13/112=(72・35-17・13)/112=19 ですので、

 (AP,BQ)=(13,19) です。


[解答2]

 座標平面を導入し、b>0 で、O(0,0),B(26,0),A(a,b),直線PQ:mx+y=0 とします。

 OA2=a2+b2 より a2+b2=222=484 、AB2=(a-26)2+b2 より a2-52a+676+b2=362

 484+676-52a=1296 より、52a=-136 、26a=-68 です。

 ヘッセの公式により、AP=|ma+b|/√(m2+1) ,BQ=|26m|/√(m2+1) であり、

 A,Bが直線PQの上側にありますので、ma+b>0 ,26m>0 になり、

 AP+BQ=(26m+ma+b)/√(m2+1) です。

 f(m)=(26m+am+b)2/(m2+1) とおけば、

 f'(m)={2(26+a)(26m+am+b)(m2+1)-(26m+am+b)2・2m}/(m2+1)2

  =2(26m+am+b){(26+a)(m2+1)-(26m+am+b)m}/(m2+1)2

  =2(26m+am+b)(26m2+26+am2+a-26m2-am2-bm)/(m2+1)2

  =2(26m+am+b)(26+a-bm)/(m2+1)2

 よって、m<(26+a)/b のとき f'(m)>0 ,(26+a)/b<m のとき f'(m)<0 になり、

 m=(26+a)/b のとき f(m) が最大、すなわち AP+BQ が最大になります。

 AP=(ma+b)/√(m2+1)={a(26+a)/b+b}/√{(26+a)2/b2+1}={a(26+a)+b2}/√{(26+a)2+b2

  =(26a+a2+b2)/√(676+52a+a2+b2)=(-68+484)/√(676-136+484)=416/√1024=416/32=13 、

 BP=26m/√(m2+1)={26(26+a)/b}/√{(26+a)2/b2+1}=26(26+a)/√{(26+a)2+b2

  =(676+26a)/√(676+52a+a2+b2)=(676-68)/√(676-136+484)=608/√1024=608/32=19 、

 (AP,BQ)=(13,19) です。

1319-垂線の長さ

[解答3]

 平行四辺形AOBCを描き、A,O,B,Cを辺上にもつ長方形PQRSを描けば BQ=AS だから、

 AP+BQ=SP 、これが最大になるのは、CO⊥PQ のときで、最大値は CO と等しくなります。

 ABの中点をMとすれば、パップスの中線定理により、2(OM2+AM2)=OA2+OB2

 OM2=(OA2+OB2)/2-AM2=(222+262)/2-(36/2)2=256 、OM=16 、CO=2・OM=32 です。

 CO⊥PQ のとき、PO2=OA2-AP2 ,SC2=AC2-SA2 で、PO=SC ですので、

 OA2-AP2=AC2-SA2=OB2-(32-AP)2 、222-AP2=262-322+64・AP-AP2

 -64・AP=262-322-222=-832 、AP=13 、BQ=32-AP=19 、(AP,BQ)=(13,19) です。

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Comments 4

There are no comments yet.
スモークマン  
グーテンアーベント ^^

[解答3]に似てますが、△ABCが平行四辺形の1/4で考えました ^^
平行四辺形で考えると...
AP+BP垂直PQ(x軸)の時になるので...
角AOB=θ
36^2=22^2+26^2-2*22*26*cosθ
cosθ=-17/143
(AP+BP)^2=22^2+26^2+2*22*26*cosθ

ヘロンで面積求めて、平行四辺形の残りの1/4の面積も等しいので、
最長距離32で高さ(x軸)=3√35
あとは、ピタゴラスから求めました ^^

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
[解答3]は等価な内容を何通りか書き換えができると思います。
対角線が中点で交わる平行四辺形は、三平方より中線定理が手軽です。

アキチャン  

こんばんわ。
わ~秋~♪
夕方からとても涼しくなりました。
ちゃんと、季節はやってきますね(*´∀`*)

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

アキチャンさん、コメントを有難うございます。
写真の花はハマオミナエシです。
昨日は処暑、秋が例年より早いと助かります。