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[答1320] 2倍の角を含む三角形

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1320] 2倍の角を含む三角形


 AB=30,BC=12,∠B=2∠BAC である △ABCの辺BCの延長上に ∠ADC=2∠B になるように

 点Dをとるとき、(CD,AD)=?
1320-2倍角0


[解答1]

 ∠BAC=θ とおけば、∠B=2θ,∠D=4θ です。

 △ABCにおいて、正弦定理より 12/sinθ=30/sin(π-3θ) 、12sin3θ=30sinθ 、

 12(3sinθ-4sin3θ)=30sinθ 、2(3-4sin2θ)=5 、sin2θ=1/8 、cos2θ=1-2sin2θ=3/4 です。

 △ABDにおいて、正弦定理より AD/sin2θ=30/sin4θ 、

 AD=30sin2θ/sin4θ=15/cos2θ=15・4/3=20 になります。

 △ABDにおいて、余弦定理より cos2θ=(BD2+302-AD2)/(2・BD・30)=(BD2+500)/(60・BD) 、

 (BD2+500)/(60・BD)=3/4 、BD2+500=45・BD 、(BD-20)(BD-25)=0 、BD=20,25 ですが、

 BD=20 のとき BD=AD より∠B=∠BAD 、∠D=2∠B だから、△ABDは直角二等辺三角形、

 AB=30,BD=AD=20 に適合しません。

 BD=25 のとき CD=25-12=13 になり、(CD,AD)=(13,20) です。


[解答2] tsuyoshik1942さんの解答より

 ∠Dの二等分線とABとの交点をE,∠Bの二等分線とDEとの交点をIとします。

 △EBDは二等辺三角形で、BE=DE です。

 また、BIは∠EBDの二等分線だから、ID=DE・BD/(BD+BE)=BE・BD/(BD+BE) 、BD・BE/ID=BD+BE で、

 △ABC∽△BDI より、AB:BD=BC:DI 、AB=BC・BD/ID 、AB・BE=BC・BD・BE/ID=BC(BD+BE) 、

 30BE=12(BD+BE) 、18BE=12BD 、BD=3BE/2 です。

 更に、△ADE∽△ABD で、相似比は AD:AB=DE:BD=BE:3BE/2=2:3 になり、

 AD=(2/3)AB=20 ,AE=(2/3)AD=40/3 、

 CD=BD-BC=3BE/2-BC=3(AB-AE)/2-BC=3(30-40/3)/2-12=13 です。

   1320-2倍角

[解答3]

 CD=x,AD=y,AC=z とします。

 ABの延長上に BE=BC=12 となる点Eを、BDの延長上に DF=DA=y となる点Fをとります。

 相似な二等辺三角形の等辺と底辺の比に着目し、

 △BEC∽△CAE より 12:z=z:42 、z2=12・42=504 で、

 △DFA∽△ABF より y:30=30:(12+CF) 、y(12+CF)=900 です。

 Aを中心に半径30の円を描き、直線ACとの交点を P,Q とすれば、方べきの定理より、CB・CF=CP・CQ 、

 CF=CP・CQ/CB=(30+z)(30-z)/12=(900-z2)/12=(900-504)/12=33 です。

 y(12+CF)=900 に代入して、45y=900 、y=20 、x=CF-y=13 、(CD,AD)=(x,y)=(13,20) です。

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Comments 2

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スモークマン  
グーテンアーベント ^^

正弦と余弦のアプローチでしたが...
図形的な解法は魅力的ですね♪
気付ければなぁ...^^;

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
図形の性質を上手く使えば計算がずいぶん省略できます。
その気づきが問題を解く醍醐味ですね。