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[答1321] 内接円の半径と三角形の辺の長さ

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1321] 内接円の半径と三角形の辺の長さ


 △ABCの辺BCの中点をMとします。

 △ABM,△AMC,△ABC の内接円の半径の比が 22:18:33 のとき、AB:AC=?
    1321-内接円と辺


[解答]

 BM=CM=a ,AM=b ,AB=x ,AC=y とします。

 多角形では 内接円の半径と周囲の長さの積が面積の2倍になりますので、

 22(a+b+x):18(a+b+y):33(2a+x+y)=△ABM:△AMC:△ABC=1:1:2 になり、

 22(a+b+x)=18(a+b+y)=33(2a+x+y)/2 、(a+b+x)/9=(a+b+y)/11=(2a+x+y)/12 、

 a+b+x=9k ,a+b+y=11k ,2a+x+y=12k とおけば、

 (a+b+x)+(a+b+y)-(2a+x+y)=9k+11k-12k 、2b=8k 、b=4k 、

 よって、x=5k-a ,y=7k-a になります。

 パップスの中線定理より、x2+y2=2(a2+b2) 、(5k-a)2+(7k-a)2=2(a2+16k2) 、

 74k2-24ka+2a2=2a2+32k2 、42k2=24ka 、4a=7k です。

 x:y=(5k-a):(7k-a)=(20k-4a):(28k-4a)=(20k-7k):(28k-7k)=13:21 になります。

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Comments 7

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スモークマン  
グーテンモルゲン ^^

そっかぁ〜〜〜!!
3個の△の面積比でしたか...
2個の△の和=元の△の思考から抜け出せぬままでした...^^;
今に今までどうするのか気になってましたのでスッキリ ^^;♪

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ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンモルゲン ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
スッキリできる解答説明でよかったです。
ところで、
貴殿の Yahoo! ブログのゲストブックにコメントを入れておきました。

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ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント^^

貴殿の Yahoo! の ゲスブをご覧ください。
時々訪れますので、そこにコメントを書いてください。

アキチャン  

こんにちわ。
こちらの花びらも多いですね(*´∀`*)
雨が多いので、今も我が家のレインりりー、綺麗に開いてくれています♪

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

アキチャンさん、コメントを有難うございます。
花弁が7枚のものは時々みられますが、
8枚になるとかなり稀ですので、カメラに収めました。