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[答1322] 3次方程式の解の2乗

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1322] 3次方程式の解の2乗


 p,qを実定数,f(x)=x3+x2+2x+p ,g(x)=x3+qx2+(5-3p)x-p とします。

 3次方程式 f(x)=0 のどの解についても その2乗が g(x)=0 の解であるとき、(p,q)=?


[解答1]

 f'(x)=3x2+2x+2 は全ての実数 x について正であるので、

 f(x)=0 の実数解は1個だけで、他の2個の解は共役な虚数です。

 2乗すると、共役な虚数は、純虚数の場合だけ等しい負の数で それ以外は共役な虚数です。

 f(x)=x3+x2+2x+p=(x+1)(x2+2)+p-2 だから、p≠2 のとき純虚数の解をもちません。

 p≠2 のとき、f(x)=0 の3個の解の2乗は異なりますので、

  f(x)=x3+x2+2x+p=0 の解を a,b,c とすれば、

  解と係数の関係により a+b+c=-1 ,bc+ca+ab=2 ,abc=-p になり、

  a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(bc+ca+ab)=-3 、

  b2c2+c2a2+a2b2=(bc+ca+ab)2-2abc(a+b+c)=4-2p 、

  a2b2c2=(abc)2=p2 だから、

  a2,b2,c2 を解とする3次方程式は x3+3x2+(4-2p)x-p2=0 になります。

  勿論 f(a)=a3+a2+2a+p=0 、a3+2a=-a2-p 、2乗して、a6+4a4+4a2=a4+2pa2+p2

  a6+3a4+(4-2p)a2-p2=0 、同様に b6+3b4+(4-2p)b2-p2=0 ,c6+3c4+(4-2p)c2-p2=0 、

  a2,b2,c2 を解とする3次方程式は x3+3x2+(4-2p)x-p2=0 とする方法もあります。

  g(x)=x3+qx2+(5-3p)x-p=x3+3x2+(4-2p)x-p2 だから、

  q=3 ,5-3p=4-2p ,p=p2 、(p,q)=(1,3) です。

 p=2 のとき、f(x)=(x+1)(x2+2) であり、f(x)=0 の解は -1,±(√2)i 、

  2乗すれば 1,-2 、これが g(x)=x3+qx2-x-2=0 の解であるから、

  g(1)=q-2=0 ,g(-2)=4q-8=0 、いずれの式でも q=2 で、(p,q)=(2,2) です。

 まとめると、(p,q)=(1,3),(2,2) です。


[解答2]

 f(x)=0 ならば g(x2)=0 すなわち、

 x3+x2+2x+p=0 ならば x6+qx4+(5-3p)x2-p=0 が成り立てばよい。

 f'(x)=3x2+2x+2 は全ての実数 x について正であるので、f(x)=0 は重解を持ちません。

 よって、異なる3個の複素数が x3+x2+2x+p=0 を満たします。

 x6+qx4+(5-3p)x2-p

  =(x3+x2+2x+p)(x3-x2+qx-x-p-q+3)+(4-p-q)x2+(-6+3p+2q-pq)x-4p+p2+pq

  =-(p+q-4)x2-(q-3)(p-2)x+p(p+q-4)=0 が異なる3個の複素数について成り立つので、

 p+q-4=0 ,(q-3)(p-2)=0 ,p(p+q-4)=0 がすべて成り立ちます。

 よって、(p,q)=(1,3),(2,2) です。

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Comments 6

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アキチャン  

おはようございます。
これは何のお花だったかしら?
虫が自慢げに見えてます(笑)きれいなお花(*´∀`*)

スモークマン  
グーテンターク ^^

考えた挙句...
x^6+qx^4+(5-3p)x^2-p
=(x^3+x^2+2x+p)(x^3+ax^2+bx-1)
を展開して...
恒等式としたら求まりました ^^♪

[解答2]と同値のアプローチかな?

ゆうこ  

お花はマツモトセンノウではないですよね~~
オレンジ色が素敵です。
ヤドカリさん地方はまだまだ夏の花が咲き続けるのでしょう。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

アキチャンさん、早速のコメントを有難うございます。
この花はフシグロセンノウです。
シンプルできれいな山野草だと思います。
後ろに蕊が残った花がありましたが、虫に見えたのですね。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
結局は貴殿の書かれた通りになるのですが、理由が不完全です。
f(x)=0 のが重解を持てばその方法ではすべての答が出てきません。
[解答2]をよく吟味して頂ければ分かると思います。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ゆうこさん、コメントを有難うございます。
この花はフシグロセンノウです。
そちらには、マツモトセンノウというよく似た花があるのですね。
ところで、こちらでも彼岸花が咲きだしました。
そちらはだいぶ秋が深まっているのでしょう。