[答1322] ３次方程式の解の２乗

[答1322] ３次方程式の解の２乗


　p，qを実定数，f(x)＝x³＋x²＋2x＋p ，g(x)＝x³＋qx²＋(5－3p)x－p とします。

　３次方程式 f(x)＝0 のどの解についても その２乗が g(x)＝0 の解であるとき、(p，q)＝？


[解答1]

　f'(x)＝3x²＋2x＋2 は全ての実数 x について正であるので、

　f(x)＝0 の実数解は１個だけで、他の２個の解は共役な虚数です。

　２乗すると、共役な虚数は、純虚数の場合だけ等しい負の数で それ以外は共役な虚数です。

　f(x)＝x³＋x²＋2x＋p＝(x＋1)(x²＋2)＋p－2 だから、p≠2 のとき純虚数の解をもちません。

　p≠2 のとき、f(x)＝0 の３個の解の２乗は異なりますので、

　 f(x)＝x³＋x²＋2x＋p＝0 の解を a，b，c とすれば、

　 解と係数の関係により a＋b＋c＝－1 ，bc＋ca＋ab＝2 ，abc＝－p になり、

　 a²＋b²＋c²＝(a＋b＋c)²－2(bc＋ca＋ab)＝－3 、

　 b²c²＋c²a²＋a²b²＝(bc＋ca＋ab)²－2abc(a＋b＋c)＝4－2p 、

　 a²b²c²＝(abc)²＝p² だから、

　 a²，b²，c² を解とする３次方程式は x³＋3x²＋(4－2p)x－p²＝0 になります。

　 勿論 f(a)＝a³＋a²＋2a＋p＝0 、a³＋2a＝－a²－p 、２乗して、a⁶＋4a⁴＋4a²＝a⁴＋2pa²＋p² 、

　 a⁶＋3a⁴＋(4－2p)a²－p²＝0 、同様に b⁶＋3b⁴＋(4－2p)b²－p²＝0 ，c⁶＋3c⁴＋(4－2p)c²－p²＝0 、

　 a²，b²，c² を解とする３次方程式は x³＋3x²＋(4－2p)x－p²＝0 とする方法もあります。

　 g(x)＝x³＋qx²＋(5－3p)x－p＝x³＋3x²＋(4－2p)x－p² だから、

　 q＝3 ，5－3p＝4－2p ，p＝p² 、(p，q)＝(1，3) です。

　p＝2 のとき、f(x)＝(x＋1)(x²＋2) であり、f(x)＝0 の解は －1，±(√2)i 、

　 ２乗すれば 1，－2 、これが g(x)＝x³＋qx²－x－2＝0 の解であるから、

　 g(1)＝q－2＝0 ，g(－2)＝4q－8＝0 、いずれの式でも q＝2 で、(p，q)＝(2，2) です。

　まとめると、(p，q)＝(1，3)，(2，2) です。


[解答2]

　f(x)＝0 ならば g(x²)＝0 すなわち、

　x³＋x²＋2x＋p＝0 ならば x⁶＋qx⁴＋(5－3p)x²－p＝0 が成り立てばよい。

　f'(x)＝3x²＋2x＋2 は全ての実数 x について正であるので、f(x)＝0 は重解を持ちません。

　よって、異なる３個の複素数が x³＋x²＋2x＋p＝0 を満たします。

　x⁶＋qx⁴＋(5－3p)x²－p

　 ＝(x³＋x²＋2x＋p)(x³－x²＋qx－x－p－q＋3)＋(4－p－q)x²＋(－6＋3p＋2q－pq)x－4p＋p²＋pq

　 ＝－(p＋q－4)x²－(q－3)(p－2)x＋p(p＋q－4)＝0 が異なる３個の複素数について成り立つので、

　p＋q－4＝0 ，(q－3)(p－2)＝0 ，p(p＋q－4)＝0 がすべて成り立ちます。

　よって、(p，q)＝(1，3)，(2，2) です。

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