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[答1323] 円に内接する四角形の辺

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1323] 円に内接する四角形の辺


 ∠A=120゚ ,AB=AD ,CD=1 で、円に内接する四角形ABCDがあります。

 辺の長さがすべて自然数であるとき、(AB,BC)=?

 答は無限にあります。ABの長さが最短のものは、(AB,BC)=(1,2) の等脚台形ですが、

 ABの長さが2番目に短いものと3番目に短いものを求めてください。

1323-四角形の辺

[解答]

 AB=AD=a ,BC=b とします。

 ∠C=60゚ ですので、△ABD,△BCD で余弦定理より、

 BD2=a2+a2-2・a・a・cos120゚=b2+12-2・b・1・cos60゚ 、3a2=b2-b+1 、12a2=4b2-4b+4 、

 12a2=(2b-1)2+3 、2b-1 は3の倍数なので、2b-1=3c とおけば、

 12a2=(3c)2+3 、(2a)2-3c2=1 になりますので、

 x2-3y2=1 の自然数解を求めます。

 まず、y=1 のとき、(x,y)=(2,1) です。

 y>1 のとき、x2=3y2>y2 ,x2=3y2+1<4y2 ですので、y<x<2y です。

 x2-4y2+y2=1 、(x-2y)(x+2y)+y2=1 、x-2y=-q (q は自然数) とおけば、

 x+2y=-q+4y なので、-q(-q+4y)+y2=1 、q2-4qy+y2=1 、(2q-y)2-3q2=1 、

 |2q-y|=p (p は自然数) とおけば、p2-3q2=1 、

 ここで、p=2q-y とすれば、p-q=(2q-y)-q=-(-q+y)=-(x-2y+y)=-(x-y)<0 、

 p>q ですので、p=y-2q です。

 よって、y=p+2q ,x=2y-q=2p+3q になり、

 p2-3q2=1 を満たす (p,q) から (x,y)=(2p+3q,p+2q) が導かれることになります。

 (2,1) ⇒ (7,4) ⇒ (26,15) ⇒ (97,56) ⇒ (362,209) ⇒ (1351,780) ⇒ (5042,2911) ⇒ ……

 (2a)2-3c2=1 の解は、(2a,c)=(2,1),(26,15),(362,209),(5042,2911), ……

 (a,3c)=(1,3),(13,45),(181,627),(2521,8733), ……

 (a,2b-1)=(1,3),(13,45),(181,627),(2521,8733), ……

 (a,b)=(1,2),(13,23),(181,314),(2521,4367), ……

 ABの長さが2番目に短いものと3番目に短いものは、(AB,BC)=(13,23),(181,314) です。

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Comments 4

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スモークマン  
グーテンターク ^^

ペル方程式...よく理解できてないわたしには...
まるで手品を見てるようですばい ^^;
理解に努めたいと思いまっす Orz〜...

ゆうこ  

「ハマヒルガオ」?
「ヒルガオ」でしょうか?
私も昨日、ヒルガオに出合いました。
道東のはもうちょっと色が濃いです。
でもヤドカリさんの写したヒルガオの色は優し気があるし
可愛いわ~~

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
ペルの方程式はなかなか難しいものです。
私自身、すらすらと扱えるようになればと思います。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ゆうこさん、コメントを有難うございます。
ヒルガオです。私はこの色しか見たことがありません。
ハマヒルガオもいいですが、なかなか見る機会がありません。