FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1324] 二等辺三角形の辺の比

ヤドカリ

ヤドカリ

P9070010.jpg



[答1324] 二等辺三角形の辺の比


 AB=AC の 二等辺三角形ABCの 内接円の半径を r とします。

 r・tanB=1 ,△ABC=60 のとき、(AB,BC)=?


[解答1]

 BCの中点をM ,AB=AC=c ,BM=CM=b ,AM=a とすれば、

 △ABC=ab ,tanB=a/b ,r=2△ABC/(AB+AC+BC)=ab/(b+c) なので、

 r・tanB=a2/(b+c)=(c2-b2)/(b+c)=c-b です。

 r・tanB=1 ,△ABC=60 だから、c-b=1 ,ab=60 になります。

 c2=a2+b2 より、(b+1)2=a2+b2 、2b+1=a2

 2ab+a=a3 、a3-a-120=0 、(a-5)(a2+5a+24)=0 、

 よって、a=5 ,b=12 ,c=13 、(AB,BC)=(c,2b)=(13,24) です。


[解答2]

 a>0,b>0 として、座標平面上で A(0,a),B(-b,0),C(b,0) とすれば、内心は(0,r) です。

 r・tanB=r・a/b=1 だから、b=ar になり、△ABC=ab=a2r=60 です。

 また、AC は、x/b+y/a=1 すなわち ax+by-ab=0 で、(0,r)との距離は r だから、

 |br-ab|/√(a2+b2)=r 、b|r-a|=r√(a2+b2) 、ar|r-a|=r√(a2+a2r2) 、

 ar|r-a|=ar√(1+r2) 、|r-a|=√(1+r2) 、r2-2ar+a2=1+r2 、a2-1-2ar=0 、

 a3-a-2a2r=0 、a3-a-120=0 、(a-5)(a2+5a+24)=0 、a=5 、

 ab=5b=60 だから b=12 です。

 AB=√(a2+b2) ,BC=2b だから、(AB,BC)=(13,24) です。 

1324-参考図

[解答3]

 内心をI ,辺ACと内接円の接点をP ,直線PIと底辺BCの交点をQ ,BCの中点をMとすれば、

 △ABM≡△ACM≡△QCP∽△AIP≡△QIM になり、AP=QM=r・tanB=1 です。

 △ABC=AM・CM=60 だから、AM=x とおけば、CM=60/x ,AC=AP+CP=AP+CM=1+60/x 、

 AM2+MC2=AC2 より x2+(60/x)2=(1+60/x)2 、x2=1+120/x 、

 x3-x-120=0 、(x-5)(x2+5x+24)=0 、x=5 、60/x=12 、

 (AB,BC)=(AC,2CM)=(1+60/x,2・60/x)=(13,24) です。 

.
スポンサーサイト



Comments 4

There are no comments yet.
スモークマン  
グーテンターク ^^

整数と思い込んだ解答にしましたが...
方程式を普通にとけばよかったのでしたか ^^;
最近は、図形もんが多いですわね ^^

ゆうこ  

台風の影響はなかったですか?
今日は猛暑で大変でしょう。
私の街も蒸し暑いです。

ピンクの可愛いお花、何だろう…

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
答だけでも正解と認めていますので、解き方が違っても目をつぶっています。
図形問題が多いのは、問題番号に答を合わせやすいからです。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ゆうこさん、コメントを有難うございます。
大阪は昨年の台風で倒木が多かったのですが、
今年の影響は熱帯夜と猛暑日です。
写真の花はオジギソウで、葉に触れると葉は閉じます。