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[答1325] 三角形内の長さ

ヤドカリ

ヤドカリ

P9011073.jpg



[答1325] 三角形内の長さ


 △ABCがあって、辺BC上に点Dを 辺CA上に点Eをとり、AD,BEの交点をPとします。

 AB=42 ,BD=18 ,DC=108 ,AP=22 ,PD=14 のとき、BP=? また、PE=?

1325-三角形内の長さ


[解答1]

 AB2>AD2+BD2 だから、∠ADB>90゚ です。

 ADの延長にBからおろした垂線をBHとすれば、三平方の定理より、

 BH2=BD2-DH2=AB2-AH2 、AH2-DH2=AB2-BD2 、(AH-DH)(AH+DH)=(AB-BD)(AB+BD) 、

 AD(AD+DH+DH)=(42-18)(42+18) 、36(36+2DH)=24・60 、36+2DH=40 、DH=2 、

 BH2=BD2-DH2=182-22=320 ですので、

 BP2=BH2+PH2=BH2+(PD+DH)2=320+(14+2)2=576 、BP=24 です。

 △PBEと直線ACでメネラウスの定理より、(PE/EB)(BC/CD)(DA/AP)=1 、(PE/EB)(126/108)(36/22)=1 、

 EB/PE=(126/108)(36/22) 、(BP+PE)/PE=21/11 、BP/PE+1=21/11 、24/PE=10/11 、

 PE=24・11/10=132/5 です。


[解答2]

 PはADを 11:7 に内分するので、スチュワートの定理より、

 BP2=(7・BA2+11・BD2)/18-PA・PD=(7・422+11・182)/18-22・14=576 、BP=24 です。

 次に、BC:CD=126:108=42:36=BA:AD なので、ACは △ABDの∠Aの外角の二等分線であり、

 BE:EP=BA:AP 、(BP+PE)/PE=BA/AP 、BP/PE=BA/AP-1 、24/PE=42/22-1=10/11 、

 PE=24・11/10=132/5 です。


[参考]

 スチュワートの定理の表し方は様々ですが、私が覚えやすいのは、

 △ABCで、BCを m:n に内分する点をPとして、AP2=(nAB2+mAC2)/(m+n)-PB・PC です。

 太字をベクトルとします。BCを s:t (s+t=1) に内分する点をPとすれば、AP=tAB+sAC

 |AP|2=|tAB+sAC|2=t2|AB|2+2stABAC+s2|AC|2=t(1-s)|AB|2+2stABAC+s(1-t)|AC|2

  =t|AB|2+s|AC|2-st|AB|2+2stABAC-st|AC|2=t|AB|2+s|AC|2-st|ACAB|2

  =t|AB|2+s|AC|2-st|BC|2=t|AB|2+s|AC|2-|BP||PC|

 s=m/(m+n) ,t=n/(m+n) とすれば、AP2=(nAB2+mAC2)/(m+n)-PB・PC です。

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Comments 2

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スモークマン  
グーテンターク ^^

よくわからず...
遠回りでも、余弦定理でAC求め、
あとは面積比から求めましたぁ ^^;v

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
この問題は、順番に長さを求めればできると思います。
あとは能率ですね。