FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1326] 三角形の面積と辺の長さ

ヤドカリ

ヤドカリ

P9011055.jpg



[答1326] 三角形の面積と辺の長さ


 ∠BAC=45゚ の △ABCで、頂点Aを通り辺ACに垂直な直線と直線BCの交点をDとします。

 △ABC=169 ,AB:AD=√2:1 であるとき、(AC,AD)=?


[解答1]

 直線ACに関して B,Dが同じ側にあれば、△ABDは ABが斜辺である直角二等辺三角形で、

 図の青色のDように DB//AC になり、Dは直線BC上にはあり得ません。

 よって、図の緑色のDように 直線ACに関して B,Dが反対側にあることになります。

 ここで、△ABC=(1/2)・AB・AC・sin45゚=(1/2)・(√2)AD・AC・sin45゚=(1/2)・AD・AC=△ACD です。

 △ABD=(1/2)・AB・AD・sin135゚=(1/2)・(√2)AD・AD・sin135゚=AD2/2 だから、

 AD2/2=2・169 、AD=2・13=26 になり、

 △ACD=(1/2)・AD・AC=169 、(1/2)・26・AC=169 、AC=13 、(AC,AD)=(13,26) です。


[解答2]

 直線ACに関して B,Dが同じ側にあれば、△ABDは ABが斜辺である直角二等辺三角形で、

 図の青色のDように DB//AC になり、Dは直線BC上にはあり得ません。

 よって、図の緑色のDように 直線ACに関して B,Dが反対側にあることになります。

 ここで、△ABC=(1/2)・AB・AC・sin45゚=(1/2)・(√2)AD・AC・sin45゚=(1/2)・AD・AC=△ACD です。

 BC=CD であり、ABは △ACDの∠Aの外角の二等分線だから、DA:AC=DB:BC=2:1 です。

 AD=2AC で、△ACD=(1/2)・AD・AC=AC2=169 だから AC=13 、AD=2AC=26 、

 (AC,AD)=(13,26) です。

   1326-参考図

[解答3]

 座標平面上で A(0,0),B(b,b),C(0,c) (b>0,c>0) とすれば、

 D(b,0) または D(-b,0) ですが、

 D(b,0) であれば、直線BDは y軸と平行になり、BD上にCがなく、適しません。

 よって、D(-b,0)で CはBDの中点になり、c=b/2 、b=2c です。

 △ABC=cb/2=c2=169 より c=13 ,b=26 、(AC,AD)=(13,26) です。

.
スポンサーサイト



Comments 2

There are no comments yet.
スモークマン  
グーテンターク ^^

AがBの真上よりも左側にあるときは...
AD垂直BC so...BC//AC となるのでありえないということを添えるべきでしたのね ^^;...Orz〜

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
書ければ、厳密に書く方が好ましいです。