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[答1327] 三角形の垂心と辺の長さ

ヤドカリ

ヤドカリ

P9150127.jpg



[答1327] 三角形の垂心と辺の長さ


 図のように、BC=28 の 鋭角三角形ABCとその垂心Hについて、AH:BH:CH=19:36:104 のとき、

 AB=? また、AC=?

1327-垂心と辺0

[解答]

 ∠CAB,∠ABC,∠BCA を単に A,B,C と記すことにします。

 図のように、各頂点を通り、対辺に平行な3本の直線でできる三角形を △DEFとすれば、

 △ABC∽△DEF となり、Hは△DEFの外心になりますので、

 ∠FHA=∠FDE=∠CAB=A 、同様に、∠DHB=B ,∠EHC=C となり、

1327-垂心と辺

 cosA:cosB:cosC=AH:BH:CH=19:36:104 になり、

 cosA=19/k ,cosB=36/k ,cosC=104/k とおくことができます。

 A+B+C=π なので、cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1 が成り立ち、

 361/k2+1296/k2+10816/k2+142272/k3=1 、k3-12473k-142272=0 、 

 (k-117)(k2+117k+1216)=0 、k>0 より k=117 になり、

 cosA=19/117 ,cosB=36/117=4/13 ,cosC=104/117=8/9 ですので、

 sinA=(28√17)/117 ,sinB=(3√17)/13=(27√17)/117 ,sinC=(√17)/9=(13√17)/117 です。

 BC:CA:AB=sinA:sinB:sinC=28:27:13 、BC=28 だから、AB=13,AC=27 です。

☆ k3-12473k-142272 の因数定理による因数分解は、
  k=110 のとき 負,k=120 のとき 正,142272=2・19・36・104 であることから
  k=114,117 が候補として挙げられるが、k=114 のときは 12473k だけ8の倍数にならないので、
  k=117 のとき 0 であることを確かめることになります。


[参考]

 座標平面上で、H(0,h),A(0,a),B(-b,0),C(c,0) (h>0,a>0,b>0,c>0) とし、

 AH=19k ,BH=36k ,CH=104k とします。

 a-h=19k ,h2+b2=362k2 ,h2+c2=1042k2 ,(a/b)(-h/c)=-1 だから、ah=bc です。

 a=19k+h 、ah=19hk+h2 、bc=19hk+h2 になり、b2=362k2-h2 ,c2=1042k2-h2 なので、

 b2c2=(19hk+h2)2=(362k2-h2)(1042k2-h2) 、

 361h2k2+38h3k+h4=14017536k4-12112k2h2+h4 、38h3+12473h2k-14017536k3=0 、

 (h-32k)(38h2+13689hk+438048k2)=0 、h>0,k>0 だから、h=32k になります。

 a=19k+h=51k ,b2=362k2-h2=4・68k2 ,c2=1042k2-h2=72・136k2 になり、

 a2:b2:c2=512:4・68:72・136=9・17:4・4:72・8=153:16:576 、

 a2:b2:c2:2bc=153:16:576:2・4・24 、

 BC2:AB2:AC2=(b+c)2:(a2+b2):(a2+c2)=(16+192+576):(153+16):(153+576)

 BC2:AB2:AC2=784:169:729 、BC:AB:AC=28:13:27 になり、

 BC=28 だから、AB=13 ,AC=27 です。

☆ 38h3+12473h2k-14017536k3 の因数分解は困難ですので、この解法は避けたいです。

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Comments 2

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スモークマン  
グーテンターク ^^

>cosA:cosB:cosC=AH:BH:CH
>cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1
両方とも初見です...^^
考えたこともなかったです...^^;
わたしは...大きい△の外心の性質は使ったけど...
どんな立式でPCにお願いしたのか既に思い出せましぇん ^^;;
いずれにせよ、難問ですよね?

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1
は、たまに使われます。
計算に手間のかかる難問です。