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[答1328] 平行四辺形の面積

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1328] 平行四辺形の面積


 面積がSである 平行四辺形ABCDの 辺AD上に点Pがあり、対角線の交点をO ,PBとOAの交点をQ ,

 PCとODの交点をR とします。 △OPQ=23 ,△OPR=18 のとき、AP:PD=? また、S=?

    1328-平行四辺形の面積


[解答1]

 AD=a ,AP=ak ,ADを底辺とする平行四辺形の高さを h とすれば、ah=S です。

 △ABP=ak・h/2=kS/2 、△AOP=ak(h/2)/2=kS/4 です。

 △BDPと直線ACで メネラウスの定理より、(BO/OD)(DA/AP)(PQ/QB)=1 、BO=OD だから、

 PQ/QB=AP/AD=k になり、PQ=kQB 、△AQP=k△ABQ です。

 ここで、△ABP=△ABQ+△AQP=(1+k)△ABQ=kS/2 だから、

 △ABQ=kS/{2(1+k)} 、△AQP=k2S/{2(1+k)} であり、

 △OPQ=△AOP-△AQP=kS/4-k2S/{2(1+k)}=(kS/4){1-2k/(1+k)}=k(1-k)S/{4(1+k)} です。

 次に、PD=a(1-k) だから、△OPRは △OPQの kを(1-k)に書き換え、△OPR=k(1-k)S/{4(2-k)} 、

 △OPQ:△OPR=k(1-k)S/{4(1+k)}:k(1-k)S/{4(2-k)}=(2-k):(1+k) になるので、

 (2-k):(1+k)=23:18 、23+23k=36-18k 、k=13/41 、

 AP:PD=ak:a(1-k)=k:(1-k)=13/41:(1-13/41)=13:28 です。

 △OPQ=k(1-k)S/{4(1+k)} より、

 S=4(1+k)△OPQ/{k(1-k)}=4(1+13/41)・23/{(13/41)(1-13/41)}=4・41(41+13)・23/{13(41-13)}

  =4・41・54・23/(13・28)=50922/91 です。


[解答2]

 AP=x ,PD=y とします。

 △APQ∽△CBQ で、相似比は x:(x+y) だから、PQ:QB=x:(x+y) 、PQ:PB=x:(2x+y) 、

 △OPQ=(PQ/PB)△OBP=(1/2)(PQ/PB)△DBP=(1/2)(PQ/PB)(DP/AD)△ABD

  =(1/2){x/(2x+y)}{y/(x+y)}(S/2)=Sxy/{4(2x+y)(x+y)} 、

 同様に、△OPR=Sxy/{4(x+2y)(x+y)} だから、

 △OPQ:△OPR=(x+2y):(2x+y)=23:18 、46x+23y=18x+36y 、28x=13y 、x:y=13:28 です。

 △OPB=(PB/PQ)△OPQ={(2x+y)/x}△OPQ=(54/13)・23=54・23/13=1242/13 、

 △OPC=(PR/PC)△OPR={(x+2y)/y}△OPR=(69/28)・18=69・18/28=1242/28 、

 S=4(△OPB+△OPC)=4(1242/13+1242/28)=1242(4/13+1/7)=1242・41/91=50922/91 です。

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Comments 6

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スモークマン  
グーテンターク ^^

[解答2]もどきで...
△PAO=△PCOを使いました ^^v
面積の値に自信なかったですが...^^;

ニリンソウ  

きりっとした素敵な花ですね
温室かな?
台風が温帯低気圧に変わっても
一日中強風の夏日34度は暑いです。
こんな彼岸は初めてかも・

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
面積の問題は、感で答えられない値ですので、追加出題です。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
写真の花はプルメリアで、室外に咲いていました。
南国の花で、レイに使われるそうです。

-  

こんばんは~
きれいなプルメリアはハワイなどの南国の花のイメージです
室外に咲いてるのですか・・・
日本は温暖化しているようですが
湿気が無ければハワイのようになるのでしょうかね

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

19/09/24/21:00:20の匿名様、コメントを有難うございます。
プルメリアで、室外に咲いていました。
南国の花が普通に咲くのは、温帯地方にも「熱帯夜」が多いからかも知れません。