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[答1329] 内心と頂点の距離

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1329] 内心と頂点の距離


 内心をIとする △ABCの 辺BC上に Bに近い方から H,P,Q があって、

 AH⊥BC ,IP⊥BC ,∠BAQ=∠CAQ ,HP=BC/11 ,PQ=BC/19 ,IP=2 のとき、(IB,IC)=?

   1329-内心と長さ

[解答1]

 BC=209a とすれば、HP=BC/11=19a ,PQ=BC/19=11a ,HQ=30a になり、

 AB:BQ=AC:CQ=AI:IQ=HP:PQ=19:11 だから、19BQ=11AB ,19CQ=11AC で、

 AH:IP=HQ:PQ=30:11 なので、AH=30h とすれば、IP=11h ですので、

 xy平面上で、H(0,0),P(19a,0),Q(30a,0),A(0,30h),I(19a,11h) とおけて、

 B(-b,0),C(c,0) とすれば、361BQ2=121AB2 ,361CQ2=121AC2 より、

 361(900a2+60ab+b2)=121(900h2+b2) ,361(900a2-60ac+c2)=121(900h2+c2) 、

 361・900a2+361・60ab+240b2=121・900h2 ,361・900a2-361・60ac+240c2=121・900h2

 361・15a2+361ab+4b2=121・15h2 ,361・15a2-361ac+4c2=121・15h2 です。

 差をとれば、361a(b+c)+4(b2-c2)=0 、361a=-4(b-c) 、

 b-c=-361a/4 になり、b+c=BC=209a だから、b=475a/8 ,c=1197a/8 です。

 121・15h2=361・15a2+361ab+4b2=361・15a2+361・475a2/8+4・4752a2/64

  =361a2(15+475/8+252/16)=361a2(240+950+625)/16=361・1815a2/16 、

 h2=361a2/16 、h=19a/4 、a=4h/19 になり、IP=11h=2 より、

 h=2/11 ,a=8/209 、b=475a/8=25/11 ,c=1197a/8=63/11 です。

 I(8/11,2),B(-25/11,0),C(63/11,0) になり、IB=√13 ,IC=√29 です。


[解答2]

 BC=a,CA=b,AB=c,BP=x,PC=y とすれば、

 x+y=a,HP=a/11,PQ=a/19,BH=x-a/11,HC=y+a/11,BQ=x+a/19,QC=y-a/19 です。

 AB-BP=AC-CP だから、c-x=b-y 、x-y=c-b になり、x+y=a と併せて、

 2x=a-b+c ,2y=a+b-c になります。

 次に、AH2=AB2-BH2=AC2-HC2 より、AB2-AC2=BH2-HC2 、c2-b2=(x-a/11)2-(y+a/11)2

 c2-b2=(x+y)(x-y-2a/11) 、c2-b2=a(c-b-2a/11) ……(1) です。

 また、BQ:QC=AB:AC より、(x+a/19):(y-a/19)=c:b 、(2x+2a/19):(2y-2a/19)=c:b 、

 (a-b+c+2a/19):(a+b-c-2a/19)=c:b 、(21a/19-b+c):(17a/19+b-c)=c:b 、

 b(21a/19-b+c)=c(17a/19+b-c) 、21ab/19-b2+bc=17ac/19+bc-c2

 c2-b2=a(17c/19-21b/19) ……(2) です。

 (1)(2)より、a(c-b-2a/11)=a(17c/19-21b/19) 、c-b-2a/11=17c/19-21b/19 、

 -2a/11=-2c/19-2b/19 、a/11=(b+c)/19 になり、

 (1)より、(c+b)(c-b)/11=(a/11)(c-b-2a/11) だから、

 (c+b)(c-b)/11=(b+c){c-b-2(b+c)/19}/19 、(c-b)/11={19c-19b-2(b+c)}/192

 361(c-b)=11(17c-21b) 、361c-361b=187c-231b 、174c=130b 、c/65=b/87 になり、

 c/65=b/87=k とおけば、b=87k,c=65k であり、a/11=(b+c)/19=8k より、a=88k 、

 (a+b+c)/2=120k 、x=(a-b+c)/2=(a+b+c)/2-b=33k ,y=(a+b-c)/2=(a+b+c)/2-c=55k です。

 また、AH2=AB2-BH2=c2-(x-a/11)2=(c+x-a/11)(c-x+a/11)=90k・40k 、AH=60k 、

 △ABC=BC・AH/2=88k・60k/2=44・60k2 だから、内接円の半径 IP=44・60k2/(120k)=22k 、

 IP=2 だから 22k=2 、k=1/11 になり、BP=x=33k=3 ,PC=y=55k=5 です。

 (IB,IC)=(√(BP2+IP2),√(PC2+IP2))=(√(32+22),√(52+22))=(√13,√29) です。

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Comments 4

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スモークマン  
グーテンターク ^^

AI:IQ=19:11
と、ピタゴラスだけで求めましたわん ^^
計算は面倒でしたけど...^^; Orz〜

ニリンソウ  

紅白揃って植えてあるのは見事ですね。
こちらでもやっと見れるようになりました。
日中はまだ夏日。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
座標を使って解けるので、三平方を利用すれば解けるのですが、
説明を書くときは、座標は便利です。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
ここの通りは毎年もっと彼岸花が咲くのですが、
今年はやや遅く、少ない気がします。