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[答1330] 定積分の値

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1330] 定積分の値

 01 {(1+x+x2-x3)/(1+x4)}dx=?


[解答]

 I=∫01 {(1+x+x2-x3)/(1+x4)}dx とします。

 1+x4=(x2+1)2-(x√2)2=(x2-x√2+1)(x2+x√2+1) で、

 x2+x√2+1=A(x) ,x2-x√2+1=B(x) とおき、

 A=∫01{1/A(x)}dx ,B=∫01{1/B(x)}dx とすれば、

 A(x)=x2+x√2+1=(x+1/√2)2+1/2 だから、

  x+1/√2=(1/√2)tanθ (-π/2<θ<π/2) とおけば、

  dx={(1/√2)/cos2θ}dθ ,x=0 のとき θ=π/4 ,x=1 のとき θ=3π/8 ,

  A(x)=(1/2)tan2θ+1/2=(1/2)/cos2θ 、

  A=∫01{1/B(x)}dx=∫π/43π/8{2cos2θ(1/√2)/cos2θ}dθ

  =∫π/43π/8 (√2)dθ=(√2)(3π/8-π/4)=(√2)π/8 、

 B(x)=x2-x√2+1=(x-1/√2)2+1/2 だから、

  x-1/√2=(1/√2)tanθ (-π/2<θ<π/2) とおけば、

  dx={(1/√2)/cos2θ}dθ ,x=0 のとき θ=-π/4 ,x=1 のとき θ=π/8 ,

  B(x)=(1/2)tan2θ+1/2=(1/2)/cos2θ 、

  B=∫01{1/A(x)}dx=∫-π/4π/8{2cos2θ(1/√2)/cos2θ}dθ

  =∫-π/4π/8 (√2)dθ=(√2)(π/8+π/4)=(3√2)π/8=3A 、

 x2+1=A(x)/2+B(x)/2 ,x=A(x)/(2√2)-B(x)/(2√2) だから、

 (1+x+x2-x3)/(1+x4)

  ={A(x)/2+B(x)/2+A(x)/(2√2)-B(x)/(2√2)}/{A(x)B(x)}-x3/(1+x4) ですので、

 I=B/2+A/2+B/(2√2)-A/(2√2)-∫01{x3/(1+x4)}dx

  =3A/2+A/2+3A/(2√2)-A/(2√2)-(1/4)∫01{4x3/(1+x4)}dx

  =2A+A/√2-(1/4)[log(1+x4)]01

  =(2√2+1)π/8-(1/4)log2=1.330133021…… です。


[参考] 逆三角関数を使えば、

 A=∫01{1/A(x)}dx =∫01{1/(x+1/√2)2+1/2}dx

  =(√2)[arctan(x√2+1)]01=(√2)(3π/8-π/4)=(√2)π/8 、

 B=∫01{1/B(x)}dx =∫01{1/(x-1/√2)2+1/2}dx

  =(√2)[arctan(x√2-1)]01=(√2)(π/8+π/4)=3(√2)π/8 です。

.
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Comments 4

There are no comments yet.
スモークマン  
グーテンターク ^^

これは...
グリコのマークでした..^^;
読んでも...beyond me...Orz〜

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
いろいろな工夫の必要な定積分は面白いと思います。

ニリンソウ  

黒百合でしょうか!
夏の想い出の花ですね。
今年は見ずに終わりました。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
咲くやこの花館では季節に関係なく見られますので、
私はこの花に季節を感じませんが、
涼しい所でのこころ癒される花です。