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[答1331] 正六角形・正三角形の個数

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1331] 正六角形・正三角形の個数


 図は1辺が1の正三角形 726個を集めて 1辺が 11の正六角形にしたものです。
1331-六角形の個数0

 (1) この図にある正六角形は大小合わせて何個? 

 (2) この図にある1辺が2以上の正三角形は何個?


[解答]

 (1) 正六角形の個数

  1辺がnの正六角形中の 1辺がkの正六角形の数を f(n,k) とします。

  右上図の青い点は、1辺が6の正六角形の中の 1辺が1の正六角形の中心につけた印で、

  f(6,1)=6+7+8+9+10+11+10+9+8+7+6=91 ですが、同様に、

  f(n,1)=n+(n+1)+(n+2)+……+(2n-2)+(2n-1)+(2n-2)+……+(n+2)+(n+1)+n

  =2(3n-1)n/2-(2n-1)=3n2-3n+1=n3-(n-1)3 です。

  また、赤い点は、六角形の中心に着目し、f(6,4)=f(5,3)=f(4,2)=f(3,1) を表したもので、

  同様に、n-k が等しいとき f(n,k) の値も等しくなります。

  よって、f(n,k)=f(n-k+1,1)=(n-k+1)3-(n-k)3 になり、

  f(11,1)+f(11,2)+f(11,3)+……+f(11,11)

  =(113-103)+(103-93)+(93-83)+……+(13-03)=113=1331 です。

1331-六角形の個数

 (2) 1辺が2以上の正三角形の個数

  下図左は、1辺が5の△の個数を数えたもので、上の頂点に青の印をつければ、

  12+13+14+15+16+17+18+17+16+15+14+13+12+11+10+9+8+7=237 個です。

  k≦10 として、1辺がkの△の個数を数えると、

  12 から 22-k までと 23-k から 12-k までの自然数の和になり、

  (12+22-k)(11-k)/2+(12-k+23-k)・12/2=k(k-69)/2+397 です。

  下図右は、1辺が14の△の個数を数えたもので、上の頂点に青の印をつければ、

  赤の横線を下辺とする△が 6+5+4+3+2+1=21 個であることを表しています。

  11≦k≦16 として、1辺がkの△の個数を数えると、

  34-2k から 1 までの自然数の和になり、(34-2k)(35-2k)/2=(17-k)(35-2k) です。

  k=2,3,……,16 として和をとれば、

  330+298+267+237+208+180+153+127+102+78+55+36+21+10+3=2105 、

  ▽も同数あるから、2105・2=4210 になります。


★ 1辺が1の正三角形 6n2 個で 1辺がnの正六角形にした図には、

  正六角形は全部で n3 個 ,1辺が2以上の正三角形は (7n-1)n(n-1)/2+[n2/4] 個あります。

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Comments 4

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スモークマン  
グーテンターク ^^

これは...答えにたどり着くまでどちらも時間かかりました ^^;
正六角形の中心の個数を数えればいいことに気づくも、解答のようにスマートにはできず...^^;;
正三角形に至っては...何回計算繰り返したのかしらん ^^;;;
次の問題...わけわかめです...

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
なかなか面倒な問題だったと思います。
六角形の個数だけでは、数えずに答を書けますので、
三角形の個数を追加しました。

ニリンソウ  
ルコウソウ

葉がよく見えないのでマルバ(野生)かな。
ルコウソウ(園芸種)かな。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: ルコウソウ

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
マルバノルコウソウです。
線路のフェンスに巻き付いて咲いていました。