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[答1334] 数列の初項

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1334] 数列の初項


 すべての項が正の数である数列{an}(n=1,2,3,……)があって、

 nが偶数のとき an=(an-1+an+1)/2 ,nが3以上の奇数のとき an=√(an-1・an+1) が成り立ちます。

 a9=220 ,a74=7744 のとき、a1=?


[解答]

 nが4以上の偶数のとき n-1,n+1 は3以上の奇数だから、

 an=(an-1+an+1)/2={√(an-2・an)+√(an・an+2)}/2 、

 √an=(√an-2+√an+2)/2 となって、数列{√a2k}(k=1,2,3,……) は等差数列、公差をdとすれば、

 √a2k=√a74+(k-37)d=√7744+(k-37)d=88+(k-37)d です。

 a9=(√a8)(√a10)=(88-33d)(88-32d)=220 だから、

 (8-3d)(22-8d)=5 、24d2-130d+171=0 、(4d-9)(6d-19)=0 、d=9/4,19/6 ですが、

 √a2=88-36d>0 だから、d<22/9 になり、d=9/4 です。

 よって、√a2k=88+(k-37)・9/4=(9k+19)/4 になって、

 √a2=7 ,√a4=37/4 ,a3=(√a2)(√a4)=7・37/4 、

 a2=(a1+a3)/2 より、a1=2a2-a3=2・72-7・37/4=133/4 です。


★ nが偶数のとき an=(9n/2+19)2/16 ,nが奇数のとき an=(9n+29)(9n+47)/64 です。

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Comments 4

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スモークマン  
グーテンモルゲン ^^

相加ぁ〜!!...気づけませんでした...^^;
こんなにうまいこと生成できる数列が存在できるのですねぇ☆
不思議だ ^^;...♪

ニリンソウ  

こんにちは~
台風19号は15号にもまさって広い範囲で甚大な被害を
出しましたね。
信濃川も上流の千曲川と長岡市で決壊し
阿賀野川は津川町で氾濫し、ニュースでは大変な
状況です。
新潟市は今のところ大丈夫でした
ありがとうございます。

まっ白なホトトギスが咲きました
麩点が特徴のホトトギスも白だけはまっ白ですね。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンモルゲン ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
「こんなにうまいこと生成できる数列が存在できる」のは、
私にとっても驚くべきことです。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
今回の台風で、多くの場所で川が氾濫しました。
ブログで無事を知らせられるだけでも有難いことです。
ところで、ホトトギス、秋を感じる花です。