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[答1335] 3個の正方形

ヤドカリ

ヤドカリ

P9230262.jpg



[答1335] 3個の正方形


 △PQRの外部に 正方形QABR,正方形RCDP,正方形PEFQ を描き、六角形ABCDEFを作ります。

 PA=11 ,PC=5 のとき、六角形ABCDEFの面積は?
1335-3個の正方形0


[解答1]

 余弦定理より、

 AP2=QA2+QP2-2・QA・QPcos∠PQA=QA2+QP2-2・QA・QPcos(∠PQR+90゚)

  =QR2+PQ2+2・QR・PQsin∠PQR=QR2+PQ2+4△PQR

  =QR2+PQ2+△PQR+△PQR+△PQR+△PQR

  =QR2+PQ2+△PQR+(1/2)PR・PQsin∠RPQ+(1/2)QP・QRsin∠PQR+(1/2)RQ・RPsin∠QRP

  =QR2+PQ2+△PQR+(1/2)PD・PEsin∠DPE+(1/2)QF・QAsin∠FQA+(1/2)RB・RCsin∠BRC

  =QR2+PQ2+△PQR+△PDE+△QFA+△RBC

 六角形ABCDEF=RP2+QR2+PQ2+△PQR+△PDE+△QFA+△RBC

  =(PC/√2)2+AP2=52/2+112=133.5 です。

   1335-3個の正方形

[解答2]

 △PQRを、P,Q,Rを中心に 90゚ 回転することにより、

 △PDE,△QFA,△RBC と面積が等しいことが分かるので、△PQR=△PDE=△QFA=△RBC です。

 中図のように、△QRF は △QAP を Q を中心に 90゚ 回転したものだから、RF=AP ,RF⊥AP になり、

 右図のピンクの部分の面積は、四角形ARPF=PA2/2 です。

 ピンクの部分は、正方形ABRQ/2+正方形EFQP/2+△PQR+△QFA 、

 水色の部分は、正方形ABRQ/2+正方形EFQP/2+△PDE+△RBC 、

 よって、ピンクと水色の部分の面積の和は、2・四角形ARPF=PA2 です。

 六角形ABCDEF=PA2+正方形CDPR=PA2+PC2/2=112+52/2=133.5 です。

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Comments 2

There are no comments yet.
スモークマン  
グーテンターク ^^

これは[解答2]に気づけたので突破できました☆
気づけなかったら...[解答1]はわたしには無理でしたわ ^^;...
美しい問題でお気に入りぃ〜♪

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
偶然同日の夜に浮浪の館でも同じ解き方ができる問題が出題されました。
形が違うので、見抜くのに私も時間がかかりました。