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[答1336] 約数を含む分数の和

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1336] 約数を含む分数の和


 8064 の正の約数は 48個あります。

 dを 8064 の正の約数として、1/(8064+d2) で表される値 48個の和は?

 また、dを 8064 の正の約数として、1/(8064-d2) で表される値 48個の和は?


[解答]

 以下の計算は、複号同順です。

 8064 の正の約数すべてのdについて、e=8064/d とすれば、eも 8064 の正の約数すべてです。

 1/(8064±d2)+1/(8064±e2)=(8064±e2+8064±d2)/{(8064±d2)(8064±e2)}

  ={2・8064±(d2+e2)}/{80642±8064(d2+e2)+d2e2

  ={2・8064±(d2+e2)}/{80642±8064(d2+e2)+80642}=1/8064

 48個のdについてこの和を求めると 48/8064 ですが、2回ずつ加えたことになりますので、

 1/(8064+d2) の和も 1/(8064-d2) の和も 24/8064=1/336 です。

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Comments 4

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スモークマン  
グーテンターク ^^

ペアにして考えると言うのは定番ですが、
どちらも同じ値になることが不思議でした。
この計算結果24/8064の意味はなんなんでしょうかしらん?...^^;

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
24/8064の意味は、約数の個数の半分/もとの数 としか言えません。

ニリンソウ  

昨日の即位の礼は雨で
今日は秋晴れ・・・こんなアサガオ見たことあるなぁ~
野アサガオでしょうか。
青い麩が素敵です。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
長居植物園で見た朝顔です。
品種は書いていませんでしたが、青い麩に魅せられて撮りました。