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[答1337] 内接円と辺の比

ヤドカリ

ヤドカリ

カワチブシ



[答1337] 内接円と辺の比


 図のように、△ABCの 頂点Aから辺BCにおろした垂線をAHとします。

 △ABC,△ABH,△AHC の内接円の半径の比が 16:15:6 のとき、BC:CA:AB=?

 なお、図は正確ではありません。
1337-内接円と辺


[解答]

 まず、直角三角形の直角を挟む2辺の長さを a,b 、内接円の半径を r として、

 a,b,r の関係式を求めておきます。

 斜辺の長さは a+b-2r なので、三平方の定理により、(a+b-2r)2=a2+b2

 2ab-4ra-4rb+4r2=0 、2b(a-2r)=4r(a-r) 、b=2r(a-r)/(a-2r) になり、

 斜辺を加えると、b+(a+b-2r)=2b+a-2r=4r(a-r)/(a-2r)+a-2r=a2/(a-2r) です。

 △ABC,△ABH,△AHC の内接円の半径を 16k/3,5k,2k とし、AH=h とします。

 △ABHにおいて、BH=10k(h-5k)/(h-10k) ,AB+BH=h2/(h-10k) 、

 △AHCにおいて、CH=4k(h-2k)/(h-4k) ,AC+CH=h2/(h-4k) 、

 △ABCの内接円の半径は、

 2△ABC/(BC+CA+AB)=(BH+CH)・AH/(AB+BH+AC+CH)

  ={10k(h-5k)/(h-10k)+4k(h-2k)/(h-4k)}h/{h2/(h-10k)+h2/(h-4k)}

  ={10k(h-5k)(h-4k)+4k(h-2k)(h-10k)}/{h(h-4k)+h(h-10k)}

  =2k{5(h-5k)(h-4k)+2(h-2k)(h-10k)}/{h(2h-14k)}

  =k(7h2-69kh+140k2)/{h(h-7k)}=16k/3 だから、

 3(7h2-69kh+140k2)=16h(h-7k) 、5h2-95kh+420k2=0 、5(h-7k)(h-12k)=0 、

 AB+BH=h2/(h-10k)>0 で h>10k だから、h=12k です。

 BH=10k(h-5k)/(h-10k)=35k ,AB+BH=h2/(h-10k)=72k より、AB=37k 、

 CH=4k(h-2k)/(h-4k)=5k ,AC+CH=h2/(h-4k)=18k より、AC=13k 、

 BC=BH+CH=40k だから、BC:CA:AB=40k:13k:37k=40:13:37 です。

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Comments 4

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スモークマン  
グーテンアーベント ^^

この問題は...beyond me...ですばい ^^;
わたしゃ...
立式したものをPCにお願いして求めました...
邪道でメンゴ Orz...
絵馬のような綺麗な意匠の問題ですのに...難しいものですね ^^;;

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
単純に見える問題でも計算が複雑であったり、一見難しそうで簡単な問題もあります。
いろいろ考えて作問しています。

ニリンソウ  

みかけましたか!
今年はまだであってないのです。

いい色、全草が毒とは思えません。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
この花は大台ケ原に行ったときに見たもので、
アップを失念していました。
トリカブトだと思って見ていたのですが、
パンフレットにはカワチブシと書かれていました。