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[答1338] 四角形の対角線

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1338] 四角形の対角線


 円に内接する四角形ABCDがあって、AB=11,BC=15,CD=12,DA=37/4 のとき、(AC,BD)=?

1338-内接四角形0


[解答1]

 A+C=180゚,B+D=180゚ より cosC=-cosA ,cosD=-cosB です。

 余弦定理より、AC2=BA2+BC2-2BA・BCcosB=DA2+DC2-2DA・DCcosD 、

 AC2=121+225-330cosB=1369/16+144+222cosB 、-552cosB=-1863/16 、

 cosB=27/128 、AC2=346-330・27/128=17689/64 、AC=133/8 です。

 余弦定理より、BD2=CB2+CD2-2CB・CDcosC=AB2+AD2-2AB・ADcosA 、

 BD2=225+144+360cosA=121+1369/16-(407/2)cosA 、(1127/2)cosA=-2599/16 、

 cosA=-113/392 、BD2=369-360・113/392=12996/49 、BD=114/7 です。

 (AC,BD)=(133/8,114/7) です。

★ AC,BDの片方が求められれば、トレミーの定理を使う方が計算は容易です。


[解答2]

 AC,BDの交点をPとすれば、△PAD∽△PBC より、PA:PB=AD:BC=AD・AB:BA・BC になり、

 同様に、PB:PC=BA・BC:CB・CD ,PC:PD=CB・CD:DC・DA ですので、

 PA:PB:PC:PD=AD・AB:BA・BC:CB・CD:DC・DA で、

 AC:BD=(PA+PC):(PB+PD)=(AD・AB+CB・CD):(BA・BC+DC・DA)=1127/4:276=49:48 、

 AC=49k,BD=48k とし、トレミーの定理 AC・BD=AD・BC+AB・CD に代入すれば、

 49・48k2=555/4+132 、49・48k2=1083/4 、49・16k2=361/4 、k=19/56 、

 (AC,BD)=(49k,48k)=(49・19/56,48・19/56)=(133/8,114/7) です。

1338-内接四角形

[解答3]

 トレミーの定理より、AC・BD=11・12+15・37/4=1083/4=3・361/4 、

 同じ円に内接する四角形ABCEを、AB=11,BC=15,CE=37/4,EA=12 となるように描けば、

 トレミーの定理より、AC・BE=11・37/4+15・12=1127/4=23・49/4 、

 同じ円に内接する四角形ABFDを、AB=11,BF=12,FD=15,DA=37/4 となるように描けば、

 AF=BE で、トレミーの定理より、AF・BD=11・15+12・37/4 、BE・BD=276=3・4・23 です。

 (AC・BD)(AC・BE)/(BE・BD)=(3・361/4)(23・49/4)/(3・4・23)=361・49/64 、AC=19・7/8=133/8 、

 BD=(AC・BD)/AC=(3・361/4)/(19・7/8)=3・2・19/7=114/7 、(AC,BD)=(133/8,114/7) です。

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Comments 6

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スモークマン  
グーテンターク ^^

[解答2]までは気づけましたが...
[解答3]はまったく未踏の領域でしたわ ^^;♪
トレミーだけで紐解けるのねぇ☆☆☆

ほんとはメゾソプラノ  

こんばんは~
今年の金木犀は、豪雨がきたのにかかわらず
早く花が落ちることがなく、良い香りが長く味わうことができました!
昨年か一昨年は満開直後の雨で、花がほとんど落ちてしまい
あっという間に終わってしまったことがありました


ニリンソウ  

うちでは散り果てた金木犀
切りすぎて花もまばらでしたがふさふさとの花付きですね
この色なんだか美味しそうに見えます。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
[解答3]を思いついての出題です。
長さが全部有理数のものを見つけるのは難しいです。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ほんとはメゾソプラノさん、コメントを有難うございます。
こちらも今年は花がよくついていると思います。
豪雨の関東地方で残っているのは逞しいですね。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
そちらは秋が早いのでもう見納めでしょうか?
香りのある方を見ると、密集して咲いていました。