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[答1341] 五角形の面積と対角線

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1341] 五角形の面積と対角線


 AB=BC ,AE=ED ,∠B=∠E=90゚ である五角形ABCDEの面積が 90 のとき、対角線BEの長さは?

1341-五角形0


[解答1]

 AB=BC=b ,AE=ED=e ,∠CAD=θ とすれば、AC=b√2 ,AD=e√2 であり、

 BE2=AB2+AE2-2・AB・AE・cos∠BAE=b2+e2-2be・cos(θ+90゚)=b2+e2+2be・sinθ

  =2{b2/2+e2/2+(1/2)(b√2)(e√2)・sinθ}=2(△ABC+△ADE+△ACD)=2(五角形ABCDE) 、

 BE2=2・90=180 ですので、BE=6√5=13.4164…… です。
1341-五角形

[解答2]

 図のように 五角形ABCDEを 90゚ ずつ回転し、組み合わせると中央に1辺がBEの正方形ができます。

 正方形の面積は 五角形ABCDE2個分で、BE2=2・90=180 、BE=6√5=13.4164…… です。

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Comments 5

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スモークマン  
グーテンアーベント ^^

算数解法鮮やかですね♪
ちょっとデフォルメされちゃうと...気づけないわたし...^^;
ピタゴラスさんみたいな発想ねぇ☆

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
貴殿の解き方とあまり変わりませんが、
このような解法を発見すれば嬉しいものですね。

tsuyoshik1942  
>スモークマンさん 岡山へ行ってきました

図形的解法があるはずと粘ったが思い至りませんでした
綺麗な作問ですね

>スモークマンさん
このようなはめ込み解法得意ですね、

10日の岡山マラソンを走り、岡山小旅行をしてきました
話が逸れて恐縮ですが、スタート地点に大きな病院がたくさんあり、
このどこかの先生なのかなと思ったものですから。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: >スモークマンさん 岡山へ行ってきました

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
この図形解法が作問の出発点です。

スモークマン  
>tsuyoshik 1942さんへ ^^

今気づきました Orz
岡山マラソン走られたんですか ^^
わたしも昔は小豆島ハーフマラソンなどに参加してましたが...
今は、全く動かざること山の如しになりにけり...^^;
お天気が良くて気持ちよかったでしょうねぇ ^^...
完走されたら、備前焼の記念品がもらえるんでしたっけ?...
もらえましたですか ^^

わたしの知り合いは何人もその周辺の病院にいてますが、
わたしゃ...別の地で勤務しておりますです ^^...Orz〜