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[答1343] 四角形の辺の長さ

ヤドカリ

ヤドカリ

PB090865.jpg



[答1343] 四角形の辺の長さ


 AB=BC=CD である四角形ABCDの対角線の交点をPとします。

 PA=PD ,PB=3 ,PC=1 のとき、(AB,AD)=?

1343-四角形の辺0


[解答1]

 PA=PD=x ,∠BPC=θ とします。

 AB2=BC2 、余弦定理より、PA2+PB2-2・PA・PB・cos(π-θ)=PB2+PC2-2・PB・PC・cosθ ですので、

 PA2+2・PA・PB・cosθ=PC2-2・PB・PC・cosθ 、(PA+PC)(PA-PC)=-2・PB・(PA+PC)・cosθ 、

 PA-PC=-2・PB・cosθ 、同様に、CD2=BC2 より、PD-PB=-2・PC・cosθ 、

 よって、x-1=-6cosθ ,x-3=-2cosθ 、これを解いて、cosθ=-1/2 ,x=4 です。

 BC2=PB2+PC2-2・PB・PC・cosθ=9+1+3=13 、

 AD2=PA2+PD2-2・PA・PD・cosθ=16+16+16=48 、

 (AB,AD)=(√13,4√3) です。

 なお、PB=b ,PC=c とすれば、PA=PD=b+c ,∠APB=π/3 になります。

1343-四角形の辺

[解答2]

 PA=PD=p ,AB=BC=CD=q ,∠APB=θ とします。

 BからACへの垂線をBE,CからBDへの垂線をCF とすれば、△PBE∽△PCF 、PB:PC=PE:PF 、

 3:1=(PA-PC)/2:(PD-PB)/2 、3(PD-3)=PA-1 、3PD-PA=8 、PA=PD より PA=PD=4 です。

 PF=(PD-3)/2=1/2=PC/2 だから、∠CPF=60゚ ,CF=(√3)/2 です。

 FD=BD/2=(PB+PD)/2=(3+4)/2=7/2 、CD=√(CF2+FD2)=√(3/4+49/4)=√13 です。

 AD/2=PA・(√3)/2 より、AD=PA・√3=4√3 で、(AB,AD)=(√13,4√3) です。

 なお、PB=b ,PC=c とすれば、PA=PD=b+c ,∠APB=60゚ になります。


[解答3] 再出発さんの解答を参考に

 AB=BC=CD=x ,AD=y ,PA=PD=a とします。

 △ABC において、スチュワートの定理より 1・x2+ax2=(a+1)(32+1・a) 、x2=9+a になり、 

 △BCD において、スチュワートの定理より 3・x2+ax2=(a+3)(12+3・a) 、x2=1+3a ですので、

 a=4 ,x2=13 になります。 

 △CDA において、スチュワートの定理より 1・y2+ax2=(a+1)(a2+1・a) 、y2=48 です。

 よって、(AB,AD)=(x,y)=(√13,4√3) です。

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Comments 4

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スモークマン  
グーテンターク ^^

わたしのは...60°がわからなければ...言えない図柄でした ^^;
[解法2],[解法3]が楽ですね♪
スチュアートの定理...こういうケースでは威力たっぷりですね☆
思いつきませんでしたわ ^^;v

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
図形の問題はアプローチが何種類かあり、
うまく決まると嬉しいものですね。

ニリンソウ  

寒くなりましたが最高気温が二桁のうちはまだいいかな。

ムベの実かな・・アケビほどでないけど割れるんですよ
食べてみました
あっさりの甘みです。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
こちらでも、朝は10℃を切ります。溜池の水面には霧が見られます。
ムベの実を食べる機会はありませんが、
「あっさりの甘み」を味わいたいです。