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[答1344] 三角形と内接円

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1344] 三角形と内接円


 △ABCの内接円と辺BCの接点をDとし、DEを内接円の直径とします。

 また、AEの延長とBCの交点をF,AからBCにおろした垂線をAHとします。

 BC+CA+AB=168 ,HD=4 ,DF=8 とするとき、△ABCの面積は?

1344-三角形と内接円0

[解答1]

 AB=AC のとき D,F が一致しますので適しません。

 AB<AC ,AB>AC のいずれの場合も △ABCの面積に影響しませんので、AB<AC とします。

 △AHF∽△EDF ですので、AH:ED=HF:DF=(4+8):8=3:2 、AH=3DE/2 になり、

 △ABC=BC・AH/2=BC(3DE/2)/2=3BC・DE/4 です。

 また、内接円の半径は DE/2 ですので、△ABC=(BC+CA+AB)(DE/2)/2=168DE/4=42DE ですので、

 3BC・DE/4=42DE 、BC=56 です。

 また、Aから接点までの距離は (AB+AC-BC)/2=(AB+AC+BC-2BC)/2=(168-2・56)/2=28 です。

 次に、三平方の定理より、

 AH2=AB2-BH2=(AB-BH)(AB+BH)=(28+BD-BD+4)(28+BD+BD-4)=32(24+2BD) 、

 AH2=AC2-CH2=(AC-CH)(AC+CH)=(28+CD-CD-4)(28+CD+CD+4)=24(32+2CD) 、

 よって、32(24+2BD)=24(32+2CD) 、4BD=3CD 、BD+CD=BC=56 だから、BD=24 ,CD=32 です。

 AH2=32(24+2BD)=64(12+BD)=64・36 、AH=8・6 、△ABC=BC・AH/2=56・8・6/2=1344 です。

1344-三角形と内接円
[解答2]

 AB=AC のとき D,F が一致しますので適しません。

 AB<AC ,AB>AC のいずれの場合も △ABCの面積に影響しませんので、AB<AC とします。

 内心を I ,EFの中点を M とすれば、△MBC:△ABC=MF:AF=DF/2:HF=8/2:(4+8)=1:3 で、

 △MBC:△ABC=△IBC:△ABC=BC:(BC+CA+AB)=BC:168 だから、

 BC:168=1:3 、BC=56 、CA+AB=168-56=112 です。

 次に、Aを相似の中心とし、EがFに移るように拡大すれば、内接円は傍接円になります。

 内接円,傍接円との接点は 辺BCについては D,F ですが、

 半直線ABについては P,Q とし、半直線ACについては R,S とします。

 2BD=BP+BD=AB-AP+BC-CD=AB-AR+BC-CR=AB+BC-(AR+CR)=AB+BC-CA で、

 2CF=CS+CF=AS-CA+BC-BF=AQ-CA+BC-BQ=AQ-BQ+BC-CA=AB+BC-CA ですので、

 BD=CF 、従って、CA-AB=(CA-AR)-(AB-AP)=CR-BP=CD-BD=CD-CF=DF=8 、

 CA+AB=112 と併せて、CA=60,AB=52 になります。

 また、BC=2BD+DF 、56=2BD+8 、BD=24 、BH=BD-HD=24-4=20 だから、

 AH2=AB2-BH2=522-202=(52+20)(52-20)=62・2・2・42

 AH=6・2・4 になり、△ABC=BC・AH/2=56・6・2・4/2=1344 です。

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Comments 4

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スモークマン  
グーテンターク ^^

傍接円の方は...馴染んでない出ないわたしですが...
内接円を拡大したら傍接円になるのはなるほどでした☆
ピタゴラスだけで比較的簡単に解けたものでそれ以上の思案は停止してました...^^;

ニリンソウ  

優しい色のダリアですね
実はダリアは夏の花と思っていたのですが
秋の花だったんですね。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
傍接円のはなかなか馴染みがないと思いますが、
素敵な性質がいくつかあります。
たまに見るのもいいと思います。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
私はやたらと花弁が多いダリアはあまる好きではないです。
これくらいの花が沢山咲いているのに癒されます。