FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1345] 45゚の角をなす接線

ヤドカリ

ヤドカリ

PB090867.jpg



[答1345] 45゚の角をなす接線


 y=-6x2 の接線2本が 点(41/360,p)で 45゚の角をなして交わっているとき、p=?


[解答1]

 点(41/360,p)を通る傾き m の直線は y-p=m(x-41/360) 、y=mx-41m/360+p と表されます。

 これが y=-6x2 と接するとき、mx-41m/360+p=-6x2 、6x2+mx-41m/360+p=0 の判別式は、

 m2-24(-41m/360+p)=0 、m2+(41/15)m-24p=0 になります。

 接線2本の傾きを a,b とすれば、解と係数の関係により、a+b=-41/15 ,ab=-24p です。

 一方、接線2本が 45゚の角をなすので、tan45゚=|(a-b)/(1+ab)| 、1=(a-b)2/(1+ab)2

 (1+ab)2=(a-b)2 、(1+ab)2=(a+b)2-4ab 、(ab)2+6ab=(a+b)2-1 、

 (ab+3)2=(a+b)2+8=(-41/15)2+8=1681/225+8=3481/225 、ab+3=±59/15 、

 ab=-3±59/15=-104/15,14/15 、-24p=-104/15,14/15 、p=13/45,-7/180 です。


[解答2]

 y'=-12x だから、接点を(a,-6a2)とすれば、接線の傾きは -12a 、

 接線は y+6a2=-12a(x-a) 、y=-12ax+6a2

 もうひとつの接点を(b,-6b2)とすれば、接線は y=-12bx+6b2

 2本の接線の交点は((a+b)/2,-6ab)ですので、41/360=(a+b)/2,p=-6ab 、

 a+b=41/180 ,ab=-p/6 です。 

 一方、傾きが -12a,-12b の接線2本が 45゚の角をなすので、

 tan45゚=|(-12a+12b)/(1+144ab)| 、1=(-12a+12b)2/(1+144ab)2

 (1+144ab)2=(-12a+12b)2=144{(a+b)2-4ab}=144(a+b)2-576ab 、

 (1-24p)2=144(41/180)2+96p 、576p2-144p-1681/225+1=0 、36p2-9p-91/225=0 、

 8100p2-2025p-91=0 、4(45p)2-45(45p)-91=0 、(45p-13)(4・45p+7)=0 、

 p=13/45,-7/180 です。


[解答3] たけちゃんさんの解答

 y=-6x2 の x=t である点における接線の方程式は,y=-6x2+6(x-t)2 と表される.

 2接線が x=41/360 である点で交わるとき,2接点のx座標をα,β(α≠β)とすると,

 6(41/360-α)2=6(41/360-β)2 から,41/360-α=-(41/360-β) .

 よって,α=41/360-t,β=41/360+t と表され,

 傾き -41/30±12t である2直線のなす角が45゚ となる.

 {(-41/30+12t)-(-41/30-12t)}/{1+(-41/30+12t)(-41/30-12t)}=±1 から,

 1+(41/30)2-144t2=±24t .

 (12t±1)2=2+(41/30)2=(59/30)2 .t=±29/360,±89/360.

 よって,p=-6(41/360)2+6(29/360)2 または p=-6(41/360)2+6(89/360)2

 すなわち,p=-7/180,13/45 .

.
スポンサーサイト



Comments 2

There are no comments yet.
スモークマン  
グーテンアーベント ^^

なるほど...
たけちゃんさんの解法は手計算に耐えれますね ^^
最初の式の置き方がうまいからなのね...
ちなみにわたしは[解答2]のようにしたと思いますが...
根性なしで...PCにお願いしましたです ^^; Orz〜

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
うまく計算すれば、どれでも手計算に耐えられると思います。
大きな数値は少し厄介ですが。