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[答1346] 4次方程式

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1346] 4次方程式


 kを整数の定数とします。

 xの4次方程式 (x-1)(x-3)(x-4)(x-6)=(k-1)(k-3)(k-4)(k-6) の解が全て実数であるとき、

 kの値は? また、そのときの解は?


[解答]

 x2-7x=X ,k2-7k=K とおけば、

 (x-1)(x-6)(x-3)(x-4)=(k-1)(k-6)(k-3)(k-4) より、(X+6)(X+12)=(K+6)(K+12) 、

 X2+18X+72=K2+18K+72 、(X-K)(X+K+18)=0 、(x2-7x-k2+7k)(x2-7x+k2-7k+18)=0 、

 (x-k)(x+k-7)(x2-7x+k2-7k+18)=0 、x=k,7-k,{7±√(-4k2+28k-23)}/2 です。

 解が全て実数だから、-4k2+28k-23≧0 、4k2-28k+23≦0 、(2k-7)2≦26 、-5≦2k-7≦5 、

 2≦2k≦12 、1≦k≦6 、k=1,2,3,4,5,6 です。

 k=1,3,4,6 のとき (x-1)(x-3)(x-4)(x-6)=0 より x=1,3,4,6 、

 k=2,5 のとき x=k,7-k,{7±√(-4k2+28k-23)}/2 より x=2,5,(7±√17)/2 です。

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Comments 4

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ニリンソウ  

エンジェルトランペット、大きな花なのに
寒くなってきて咲くのも不思議ですね
冬場の管理が難しかったです。

スモークマン  
グーテンターク ^^

グラフで以下のように...^^
xとkとは同じ値であれば、等号が成立するので、
(k-1)(k-6)(k-3)(k-4)のグラフのx軸が1〜6の間の、整数を通るときを考える。
1〜3,4~6の間の整数の2を通れば対称性から5を通る。
3〜4は整数がないので、その間の極値以上になると、実根は2個だけで、満たさず、
2,5の辺りでの極値以下になると、実根がなくなる。
so...k=1,3,4,6 の時と、k=2,5の時だけを考えました。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
エンジェルトランペットが、
真赤なモミジのバックに咲いていました。
季節を感じる光景でした。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
このコメントはどうも厳密性に欠けるので何とも言えないです。
大雑把に把握するのは方針を立てるのに有効ですが、
きちんとした検証が必要です。