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[答1347] 倍数の和集合

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1347] 倍数の和集合


 a,b は自然数で a<b とし、A={na|n は自然数},B={nb|n は自然数}とします。

 A∪B の要素を小さいものから並べ a(1),a(2),a(3),a(4),a(5),…… とするとき、

 a(n+1)-a(n)=1 を満たす最小のnは n=22 ,次に小さいnは n=36 です。

 このとき、(a,b)=? また、a(335)=?


[解答]

 a(n+1)-a(n)=1 を満たすnが存在しますので、a,b は互いに素、最小公倍数は ab です。

 a(n) のうち ab 以下のものは b+a-1 個で、

 a(1),a(2),a(3),a(4),……,ab-a(4),ab-a(3),ab-a(2),ab-a(1),ab です。

 a(23)-a(22)=a(37)-a(36)=1 だから、

 a(23)+a(36)=a(22)+a(37)=ab で、23+36=22+37=b+a-1 、a+b=60 です。 

 また、ax-by=±1 の自然数解(x,y)の1組が x+y=23 を満たすので、

 (23-y)a-(60-a)y=±1 、23a-60y=±1 、

 a+b=60 で、a<b ,aとb は互いに素なので、a<30 ,aと30 は互いに素、

 23a の1の位は 1,9 だから、a=7,13,17,23 、

 (a,y)=(13,5) のときのみ 23a-60y=±1 を満たし、(a,b)=(13,47) です。

 従って、a(n) のうち 13・47=611 以下のものは 47+13-1=59 個で、

 a(n+59)=a(n)+611 が成り立ちます。

 a(335)=a(40+59・5)=a(40)+611・5=a(40)+3055 ですが、

 13x=47y ,x+y=40 を解けば、(x,y)=(31+1/3,8+2/3) ですので、

 a(40)=min(13・32,47・9)=min(416,423)=416 、a(394)=a(40)+3055=3471 です。

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Comments 4

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スモークマン  
グーテンアーベント ^^

面白い問題でしたがいまいちわかりませんでした ^^;
解答もまだ消化できません...^^;;...力不足ですばい...
こういう問題が解けるようになりたいものです...Orz〜

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
ふと思いつくままにネタをメモり、
いろいろ捻って問題を作ります。
こんな問題もたまにできます。

ニリンソウ  

下から見上げたアングルがいいですね。
木の下に黄葉が敷かれたら撮りたいですね。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
ある神社の公孫樹の大木です。
よく目立ち、見上げるとオーラを感じます。