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[答1349] 最小値の最大値

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1349] 最小値の最大値


 x>0 ,y>0 ,x+y<19 の条件下で、x/(8+x),y/27,(19-x-y)/(27-y) の最小値を m とします。

 この m が最大になるときの、(m,x,y)=?


[解答]

 x/(8+x),y/27,(19-x-y)/(27-y) は すべて 1より小さい正の数で、1から減じれば、

 8/(8+x),(27-y)/27,(8+x)/(27-y) も すべて 1より小さい正の数で、最大値は 1-m です。

 この3数を掛ければ、8/27≦(1-m)3 、2/3≦1-m 、m≦1/3 です。

 m=1/3 のとき、8/(8+x)=(27-y)/27=(8+x)/(27-y)=1-m=2/3 だから、

 8/(8+x)=8/12 より x=4 、(27-y)/27=18/27 より y=9 、(8+x)/(27-y)=2/3 になります。

 よって、m が最大になるとき、(m,x,y)=(1/3,4,9) です。

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Comments 4

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ニリンソウ  

細い花びらの菊(ジャノヒゲ?)
匂いは良かったですか~こちらでは食用に使われる
菊です。

スモークマン  
グーテンターク ^^

面白いアプローチですね☆
最小値の最大値は、すべてが等しい時に決まってると...
そうでないなら、もっと小さい最小値が存在できるわけだから...
ただ、不等号の等号がないのに、もとまるのかが疑問でしたが...
解答を見て納得できました...
mがあるなら、1-mもあるはずで、実際にそれを満たすものがあることで、担保されるわけですね ^^
3個の式の謎を見抜けませんでした...^^;

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
写真の菊は嵯峨菊です。
嵯峨天皇の時代、大覚寺大沢池の菊ヶ島に自生していた野菊を
永年にわたって洗練してきたものだそうです。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
この問題は不完全な解答が多かったです。
単に連立させて解いても正解が出ますが、
最大・最小の理由になりません。